大学高数下 二重积分的计算

第二节二重积分的计算一、利用直角坐标系计算二重积分三、利用极坐标系计算二重积分二、利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分))((d),(DCfyxfD其中的一般方法计算二重积分先将二重积分化为二次积分，然后先后计算两次定积分求得二重积分的值.如果积分区域D可表示为：},)()(|),{(21bxaxyxyxD其中函数、在区间上连续.)(1x)(2x],[ba一、利用直角坐标系计算二重积分1、x－型区域则D称为x－型区域.)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xy为曲顶柱体的体积．为底，以曲面的值等于以),(d),(yxfzDyxfD应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,a0xbzyx)(0xA),(yxfz)(1xy)(2xy.d),(dd),()()(21Dbaxxyyxfxyxf得如果积分区域D可表示为：},)()(|),{(21dycyxyyxD其中函数、在区间上连续.)(1y)(2y],[dc2、y－型区域则D称为y－型区域.)(2yx)(1yxDcdcd)(2yx)(1yxD.d),(dd),()()(21Ddcyyxyxfyyxfx－型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.y－型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.1)如果积分区域D可表示为x－型区域又可表示为y－型区域，且f(x,y)在D上连续，则有：3、其他情形Dbaxxyyxfxyxf)()(21d),(dd),(.d),(d)()(21dcyyxyxfy采用哪一种次序积分就取决于被积函数的结构..,,ddsin2所围由其中例：计算xyxyDyxyyD2)如果积分区域D不是x－型区域也不是y－型区域，可用平行坐标轴的直线段分割，把D分割为若干个两类标准区域，在每个标准区域上计算二重积分，再根据重积分对区域可加性，在各个标准区域上的积分之和就是D上的二重积分.若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321DDDD则必须分割.D例1解221.,,2DxdDyxyxyx计算其中由围成的区域．xxDdyyxdxdyx1222122221/1()|xxxdxy213)(dxxx.491:,12.Dyxxx如图①求曲线的交点：(1,1),(1,1)1yxyx的交点为②画出草图并将区域写成不等式形式：③计算：计算二重积分的几点说明：1)化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由区域D的几何形状确定的，因此计算二重积分应先画出积分区域D的图形.2)第一次积分的上、下限是函数或常数，而第二次积分中的上、下限一定是常数，且下限要小于上限.3)积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且区域的划分要尽量地简单.例2求Ddxdyyx)(2，其中D是由抛物线2xy和2yx所围平面闭区域.解),1,1(,)0,0(22yxxyDdxdyyx)(21022)(xxdyyxdxdxxxxxx)](21)([42102.140332xy2yx2xy2yx两曲线的交点①②如图③2:,01.Dxyxxxy1例3改变积分xyyxfx1010d),(d的次序.原式yxyxfy1010d),(d.解积分区域如图:01,01Dyxx:01,01Dxyy改写xy222xxy例4改变积分xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序.原式102112),(yydxyxfdy.解积分区域如图例5计算积分1120dsin()dxIxyy.例6计算积分yxydxedyI212141yyxydxedy121.解dxexy不能用初等函数表示先改变积分次序.原式xxxydyedxI2211121)(dxeexx.2183ee2xyxy例7求Dydxdyex22，其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.dyey2无法用初等函数表示解积分时必须考虑次序Dydxdyex22yydxexdy02102dyyey10332210262dyyey).21(61e例8求Ddxdyyx)2(，其中D是由抛物线22xy及21xy所围成的闭区域.例9求Dxydxdy，其中D是由直线1xy及622xy所围成的闭区域.例10求两个底圆半径相等的直交圆柱面222Ryx及222Rzx所围成的立体的体积.例11解.10,11:.d||2yxDxyD其中计算1D2D3D先去掉绝对值符号，如图d)(d)(d321222DDDDxyyxxy1211021122d)(dd)(dxxyxyxyyxx.1511二、利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分,),(上连续在设Dyxf那么轴对称关于如果,)1(yD.0,),(),(,),()i(IyxfyxfDyx时当对任意点.}0|),{(.d),(2,),(),(,),()ii(11xDyxDyxfIyxfyxfDyxD其中：时当对任意点那么轴对称关于如果,)2(xD.0,),(),(,),()i(IyxfyxfDyx时当对任意点.}0|),{(.d),(2,),(),(,),()ii(22yDyxDyxfIyxfyxfDyxD其中：时当对任意点那么关于原点对称如果,)3(D.0,),(),(,),()i(IyxfyxfDyx时当对任意点.d),(2d),(2,),(),(,),()ii(21DDyxfyxfIyxfyxfDyx时当对任意点那么对称关于直线如果,)4(xyD.d),(d),(DDxyfyxf那么对称两个区域关于直线、如果,)5(21xyDD.d),(d),(21DDxyfyxf0)(;dd)sincos(4)(;dd2)(;ddsincos2)()(dd)sincos()1,1()1,1(),1,1(11111DyxyxxyCyxxyByxyxAyxyxxyDDxOyDDDDD则在第一象限部分，是为顶点的三角形域，和平面上以是：设例A1:,dd||2yxDyxxyID其中：例1D2D3D4D12||,DDxyxy、关于原点对称，关于为偶函数314321DDDDDD,,为偶函数关于关于原点对称，yxxyDD,||43为偶函数关于轴对称，关于xxyyDD||131dd4DyxxyI＝1010dd4xyxyx61双纽线所围成：为由下列其中计算例DyxxyD,dd3;)(2)()1(22222yxyx.2)()2(222xyyx22224(sin232)d.xyaxxxy例计算AoDddd.dd)sin,cos(dd),(DDfyxyxf三、利用极坐标系计算二重积分,ddddcossinxyADo二重积分化为二次积分的公式（１）1、极点O在D的外部,).()(21区域特征如图Dfdd)sin,cos(.d)sin,cos(d)()(21f)(1)(2区域特征如图,).()(21AoD)(2)(1Dfdd)sin,cos(.d)sin,cos(d)()(21fAoD)(二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图,).(02、极点O在D的边界上Dfdd)sin,cos(.d)sin,cos(d)(0f极坐标系下区域的面积.ddD二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图).(0DoA)(,203、极点O在D的内部Dfdd)sin,cos(.d)sin,cos(d)(020f2222(),(),(),().yfxyfxfxyfxy积分区域为圆域或圆一般情况的一部分下，被积函数为或时用极坐标DxyxDdyxI2:,12222：计算例}cos20,22|),{(:D解22cos202dd原式22dcos383932.0,,0,1,4,darctan22222围成由其中求例xxyyyxyxDxyIDyx21210dd:4I解2643xyxDyxxyD21:,dd322其中：求例)23,21(A)23,21(B3432cos21ddtan:原式解法二:积分区域关于x轴对称,,为奇函数关于yxy0原式0例4写出积分Dyxyxfdd),(的极坐标二次积分形式，其中积分区域,11|),{(2xyxyxD}10x.1yx122yx解在极坐标系下sincosyx所以圆方程为1,直线方程为cossin1,Dyxyxfdd),(.d)sin,cos(d201cossin1f例5计算yxeDyxdd22，其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.解在极坐标系下D：a0，20.yxeDyxdd22ae020dd2).1(2ae例6求广义积分02dxex.解}|),{(2221RyxyxD}2|),{(2222RyxyxD}0,0{yx}0,0|),{(RyRxyxS显然有21DSD,022yxe122DyxdxdyeSyxdxdye22.222Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又SyxdxdyeI22RyRxdyedxe0022;)(202Rxdxe1I122DyxdxdyeRe00dd22);1(42Re同理2I222Dyxdxdye);1(422Re当R时,,41I,42I故当R时,,4I即20)(2dxex4,所求广义积分02dxex2.,21III);1(4)()1(4222220RRxRedxee例7计算dxdyyxD)(22，其D为由圆yyx222，yyx422及直线yx30，03xy所围成的平面闭区域.解3261sin4sin2dxdyyxD)(2236sin4sin22dd).32(15yyx422yyx22203yx03xy例8计算二重积分Ddxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域为}41|),{(22yxyxD.解由对称性，可只考虑第一象限部分，注意：被积函数也要有对称性.Ddxdyyxyx2222)sin(4