定积分的计算(教案)

教案定积分的计算教学内容由Newton-Leibniz公式知道，函数的定积分等于其原函数在积分区间两端取值之差，因而为求定积分似应先算出相应的不定积分。但定积分计算的目标毕竟并非原函数而是积分的值，所以计算不定积分时常用的分部积分及变量代换等技巧在这里可以转变为直接适用于定积分计算的相应运算法则。定积分计算是微积分中的基本技术，是学生必须掌握的技能。本节主要讲解以下几方面的内容：（1）定积分的分部积分法；（2）定积分的换元积分法；（3）定积分的常用计算技巧；（4）定积分的近似计算（数值积分法）。教学思路和要求（1）定积分的分部积分法和换元积分法可以从不定积分的相应思想结合Newton-Leibniz公式得出；（2）定积分的计算有着许多特有的技巧，特别是在处理奇偶函数、周期函数和满足一定恒等关系的函数的定积分计算时，常有一些简便的方法，需特别指出，注意引导学生发挥主动意识，举一反三；（3）注意在讲授数值积分时强调背景思想，并指出误差估计。教学安排一．分部积分法定理3.3.1设函数u，v在],[ba上具有连续导数，则bababadxxuxvxvxudxxvxu)()()()()()(，或bababaxduxvxvxuxdvxu)()()()()()(。只要把Newton-Leibniz公式和不定积分的分部积分法相结合，便可得上述定积分的分部积分公式。例3.3.1求由曲线xxysin（x0）和x轴围成的区域的面积A。解由定积分的几何意义知，00cossinxxdxdxxA00coscosxdxxx0sinx。例3.3.2计算20sinxdxInn，其中n为非负整数。解显然，20002sinxdxI，202011cossinxxdxI。而对2n，有20201sinsinsinxdxxxdxInnn2022201cossin)1(cossinxnxxnnxdxdxxxnn)sin1(sin)1(2202))(1(2nnIIn。由此，可得递推关系21nnInnI，2n。结合0I和1I的结果，可得2n时，,3)2(2)3)(1(,22)2(1)3)(1(nnnnnnnnIn.,为奇数为偶数nn二．换元积分法从不定积分的换元法转换到定积分的换元法，要特别注意积分上、下限的对应关系。定理3.3.2设f是],[ba上的连续函数，是定义于和间的具有连续导数的函数，其值域包含于],[ba，且)(a，)(b。则badtttfdxxf)()]([)(。证因为函数f连续，故存在原函数，设fF，于是)()]([)]([ttftFdtd，即)]([tF是)()]([ttf的原函数。由Newton-Leibniz公式，可得baaFbFdxxf)()()(和)()()]([)]([)()]([aFbFFFdtttf。所以上述两个积分相等。例3.3.3求半径为r的圆的面积。解设圆的中心在原点。由对称性，只须求出它在第一象限部分的面积。圆周在第一象限部分的方程为22xry，rx0。因此，相应的面积为rdxxr022。为计算这个积分，作变量代换trxsin，]2/,0[t，于是，tdtrdxcos。变量x对应的积分区间]1,0[转换为变量t对应的积分区间]2/,0[，且0t时，0x；2t时rx。这样rtdtrdxxr0202222cos20242sin2ttr241r。所以，整个圆的面积2rA。例3.3.4计算211dxxx。解令1xt，于是12tx，tdtdx2，且1x时0t；2x时，1t。于是21102211tdtttdxxx1021112dtt10)arctan(2tt412。例3.3.5计算20,cosxdxInn其中n是非负整数。解作变量代换tx2，于是20sintdtInn。右端积分的值见例3.3.2。要补充说明的是，如果在计算中使用的是凑微分的不定积分换元法，因为运算过程往往不另行写出中间变量，从而也毋须引入中间变量的变化区间。这就是说：如果cuFduuf)()(，函数g在],[ba上连续可微，则babaxgFdxxgxgf)]([)()]([。例3.3.6计算205sincosxdxx。解202055coscossincosxxdxdxx61cos61206x。易知上面的运算实际上是通过变换xucos把原积分化为5u的积分。如果在这里把关于x的积分改写关于u的积分，那么必须注意：原来xxcossin5关于x在]2/,0[上的积分换元后相应的是5u关于u从1到0的积分，即01520561sincosduuxdxx。例3.3.7计算22211dxxx。解一作变量代换txsec，则tdttdxtansec，且当2x时，32t；当2x时，43t，于是12)tan(sectansec1143324332222dtdtttttdxxx。这个积分也可以用凑微分的方法计算。解二121arcsin1111122222222xxxddxxx。例3.3.8计算2ln021dxex。解作变量代换xeu21，即)1ln(212ux，则duuudx21，且当0x时，0u；当2lnx时，23u，于是duuduuuudxex230223022ln021111123)32ln(11ln21230uuu。下面例3.3.9和例3.3.11的几何意义是明显的，它们往往可以用来简化积分的计算。例3.3.9设0a，f是],[aa上的连续函数，则（1）当f是奇函数时，0)(aadxxf；（2）当f是偶函数时aaadxxfdxxf0)(2)(。证设f是奇函数，即)()(xfxf，],[aax。于是aadxxf)(0)(adxxfadxxf0)(。对上式右端第一个积分作换元tx，则有aaadttfdttfdxxf000)())(()(，所以0)(aadxxf。类似地可以讨论偶函数的情况。证毕例3.3.10计算2262)sin22cos(sindxxxxx。解由于xxxsin2cos62是奇函数，x2sin是偶函数，因此0sin2cos2262xdxxx，202222sin2sinxdxxdx。于是.2sin212)2cos1(2sin4)sin22sin2cos(sin202020222262xxdxxxdxdxxxxxx例3.3.9的结论实际上蕴含于以下更一般的结论中：对于],[aa上任何连续函数f，总有aaadxxfxfdxxf0)]()([)(。利用这个关系式，有时也可简化积分计算。例3.3.11计算44sin11dxx。解4044)sin(11sin11sin11dxxxdxx2tan2sin11240402xdxx。例3.3.12设f是以T为周期的连续函数，证明：对任何实数a，成立着TTaadxxfdxxf0)()(。证显然TaTTaTaadxxfdxxfdxxf)()()(。对最后一个积分作换元Ttx，得aaTaTdttfdtTtfdxxf00)()()(。因此aTaTaadttfdxxfdxxf0)()()(aTadxxfdxxf0)()(Tdxxf0)(。证毕例3.3.13计算114211dxxxI。解先计算不定积分。当0x或0x时，有21111111222242xxxxddxxxxdxxxcxx21arctan212。至此，如果不假思索地应用Newton-Leibniz公式，便得021arctan21111121142xxdxxx。结果显然是错误的。因为在[-1,1]上恒取正值的连续函数的积分不可能为0，正确的计算如下：由于被积函数是偶函数，由例3.3.9可知其积分值为]1,0[上积分值的2倍，所以102104221arctan212112xxdxxxI.22这里0221arctanxxx是指221arctanlim200xxx。这一解法的依据是因为xx21arctan2是)1,0(上的连续函数，且00x时极限存在，以此极限值作为0点函数值的补充定义，就得到]1,0[上的连续函数，自然可以应用Newton-Leibniz公式。前一解法错误的原因在于xx21arctan212在0x点间断，所以并非被积函数在]1,1[上的原函数。如果读者仍然希望在]1,1[上用Newton-Leibniz公式的话，可以选用下面的原函数计算：].1,0(,21arctan21,0,22),0,1[,21arctan21)(22xxxxxxxxF三．数值积分Newton-Leibniz公式远不足以解决定积分的计算问题。一方面，许多可积函数的原函数难以或者根本不能用初等函数表示；另一方面，大量的实际问题还需要对并无解析表达式的函数计算定积分。各种数值积分方法提供了根据被积函数在积分区间某些点上的函数值近似计算其积分值的途径。迅速发展的计算机技术则为扩大数值积分的应用范围并提高其精确度创造了条件。我们知道定积分的几何意义是面积的计算。各类数值积分方法实际上就源于对面积作近似计算的直观思考。一.梯形公式为了直观地导出计算badxxf)(的近似公式，不妨先假设f是非负函数，实际上其结论适用于任意值的可积函数。把],[ba等分为n个小区间，即在],[ba间插入分点（图3.3.1）nabiaxi，ni,,1,0。显然，每个小区间的长度为nab。设)(xfy对应于每个分点的函数值分别为nyyy,,,10。以直线ixx（1,,2,1ni）把由直线ax，bx，x轴及)(xfy围成的曲边形分割为n个小曲边形。在每个小区间],[1iixx上，用连结),(11iiyx和),(iiyx的直线段代替曲线段)(xfy（iixxx1），以小梯形面积作为原小曲边形面积的近似，即))((21)(111iiiixxxxyydxxfii)(21iiyynab，于是，nixxbaiidxxfdxxf11)()()(211iiniyynab。整理后即得2)(2)(110nnbayyyynabdxxf。这就是近似计算定积分值的梯形公式。若f在],[ba上连续，|)(|max],[xfMbax，则以上近似公式的误差nE有如下估计（证明从略）：212)(||nababMEn。二.抛物线公式（Simpson公式）在梯形公式中，对应于每个小区间],[1iixx，替代曲边形顶部的曲线段是直线段，即以一次函数替代)(xfy。由此设想，如果以二次函数代替)(xfy，即以抛物线段替代曲线段，将能提高积分近似值的精确度。为此，在],[ba中插入分点nabiaxi2，ni2,2,1,0。得到n个小区间],[2