福州大学高等数学第七章重积分习题

第七章重积分p33—p50§7.1二重积分的概念与性质p.33一.填空p33.33..p一填空题02},y则由二重积分的几何意义可知:12223223()().DDxydxyd42.(0,0),(1,0),(0,1),DOAB设是以为顶点的三角形域则:(1)Dxyd由二重积分的几何意义知表示,.的体积其值为121.{(,)||1,||2},{(,)01,DxyxyDxyx设D底为的三棱锥16.33..3.p一比较下列各题中两个积分值的大小:22(1):(2)(1)2,Dxy设则23()();DDxydxyd(2):35,01,Dxy设则2ln()[ln()];DDxydxyd2224.(,){(,)},fxyDxyxyt若在上连续则201lim(,);tDfxydt(0,0)f22.33..5.{(,)4,0},pDxyxyy一设则22(1).Dxxydxdy0二.计算题p33.33..p二计算题:利用二重积分的性质,估计下列各二重积分的值:22221.:4,(49);DDxyIxyd22222(,)49()39,fxyxyxyy解minmax,(0,0)9,(0,2)25,Dffff在上94254,I36100.I即222.:0,0,sinsin.DDxyIxyd220sinsin1,(,),xyxyD解20.I3.:01,02,(1).DDxyIxyd114,(,),xyxyD解28.I22.34..4.:||||10,100coscosDdpDxyIdxdyxy二.1||21020200,2D解22111,102100coscos100xy1002.51I三.证明题p34.34..p三利用定义证明:(1),(,).DdD其中为的面积121,,,,nnkkDDDD证明对的任一分割:,皆有,(1,2,,),kkDkn其中为的面积001limlim.nkkDd.34..2.(,)(,)(0).DDpkfxydkfxydk三为常数12,,,nDDDD证明对的任一分割:,皆有11(,)(,),nniiiiiiiikfkf,(1,2,,),iiDkn其中为的面积01(,)lim(,)niiiiDkfxydkf01lim(,)(,).niiiiDkfkfxyd§7.2二重积分计算法(一)p.35一.填空p351.(,)(,)DfxyDIfxydxdy设在上连续,将二重积分2(1)4,DyxyxI当由与围成时;440(,)xxdxfxydy2404(,)yydyfxydx(2),21(0),Dyxxxyx当是由及围成时I;():化为二次积分两种积分次序211(,)xxdxfxydy12221112(,)(,)yydyfxydxdyfxydxyOxy21D1Dx(4,4)O(2,2)4.35..2.(,),pfxy一设为连续函数更换积分次序:221240010(1)(,)(,)xxdxfxydydxfxydy1434011(,)(,)yyydyfxydxdyfxydx14(4)204(2)(,)yydyfxydx204224(,)xxdxfxydy;;Oxy12(1,3)24yx2yxOxy2424yx24yx.35..3.{(,)|||3,||1},pDxyxy一设则4.更换积分次序计算积分:2110;yxdxedy();Dxxydxdy3131()36dxxxydy221110001(1);2yyydyedxyedye二.计算题p35.35..p三计算题1.,||||1.xyDedDxy计算其中是由所确定的闭区域01111101xxxyxyxxdxedydxedy解原式0121112110()()xxeedxeedx1113112222eeeeOxy11111.eeD222.(),2,DxyxdxdyDyyx计算其中是由直线2.yx所围成的闭区域22202()yyIdyxyxdx解2320193()248yydyxOy12213.6D3.min(,),,:03,01.DxydxdyDxy计算其中12DDIxdxdyydxdy解113000yydyxdxdyydx1122001(3)2ydyyydyxOy1324.32D1D1.36.4.0,0,1,1pxyxy计算四个平面所围成0236.zxyz柱体被平面及截得的立体的体积1100(623)Vdxxydy解103(62)2xdxxOy(1,1)7.21z1三.证明题p36.36..p三计算题(),:fx若为连续函数求证()()().bxbaaadxftdtbxfxdx()()Dbbatftdxdtdtftdx证明左边()()baftbtdtxtaabO()().babxfxdx右边§7.2二重积分计算法(二)p.37一.填空p.371.(,)(,)DfxyDIfxydxdy设在上连续,将二重积分.I则2cos202(cos,sin)dfrrrdr2.,将二次积分化成极坐标形式21101(,)xxdxfxydy;22{(,)2},Dxyxyx化成极坐标的二次积分,当1210sincos(cos,sin)dfrrrdryOxy11xO2.37..3.,.p一将下列二次积分化成极坐标形式并计算其值2212200()axdxxydy2cos34442200034cos.4adrdrada;Oxy2a222yxax二.计算题p.37.37..p二计算题22221.ln(1),:1,DxydxdyDxy计算其中0,0.xy12200ln(1)Idrrdr解112200[(1)ln(1)2]4rrrdrOxy1(2ln21)ln2.42411D2222221.37.2.,:1,1DxypdxdyDxyxy计算其中0,0.xy21220011rIdrdrr解2140121rrdrr112400(arcsin1)4rerOxy12(1).428411D222222224.38.3.:9,(,),44xyxypDxyfxyxy设(,).Dfxydxdy计算2223300024Idrdrdrdr解2421028.xy3322O.38..4.0,(0),0pyykxkz二求由平面以及球心在R原点,半径为的上半球面所围成的在第一卦限内的.立体的体积222arctan2200DkRVRxydxdydRrrdr解xy322201arctan()3RkRrRzRROarctank31arctan.3Rk.38.5.2pDr设平面薄片所占的闭区域是由螺线上Oyx22(,),.xyxy求这薄片的质量(,)DMxydxdy解22()Dxydxdy23200drdr(0)22一段与直线所围成,它的密度为5.40r=2θ§7.3三重积分的计算(一)p.39一.填空p.39.39.1.(,,)pfxyz一.设为连续函数,则2222301lim(,,).rxyzrfxyzdxdydzr4(0,0,0)3f2.(,,)fxyz设为闭区域上的连续函数,将(,,),Ifxyzdxdydz化为三次积分时若由曲面222,1,0,zxyyxyz及平面所围成则22100(,,)yxyydydxfxyzdz;;I2221110(,,)xyxdxdyfxyzdz222.39..3.:1,pxyz一设则222222ln(1).1zxyzdxdydzxyz222222200:1(1)3(1)yyyDxzydyedxdzeydye;02224.1,0,2,xyzyy设由曲面及平面所围成().yedxdydz则利用截面法23(1)e二.计算题p.39.39..p二计算题31.,0,0,0,(1)dxdydzxyzxyz计算其中由平面1.xyz及所围成的四面体1113000(1)xxydzIdxdyxyz解1120011[]2(1)8xdxdyxyOxz110111[]2(1)48xdxx11y111115ln2ln2.2481621622.39.2.,hpzdxdydzzxyk计算其中由锥面与(0,0).zhRh平面所围面的闭区域222220:zhRzDxyhIzdzdxdy解2220hRzzdzh24222.44RhRhhOzyh22222222.4RRxhhxyRRxRRhIdxdyzdz解2Rx.40.3.:01,01,pxy设有一物体,占有空间区域01,(,,)(,,)zxyzxyz在点处的密度为()Mxyzdxdydz解xdxdydzydxdydzzdxdydzxy1,xyz计算该物体的质量.O1111100032xdxydyzdzz11100sin.40..4.,xxyzpIdxdydzz二计算并画出与I对应的积分区域的草图(提示:更换积分次序).1000sinzzyzIdzdydxz解xy1100sin()zzdzzydyz1z1O101sin2zzdz1(sin1cos1).2三.证明题p40.40..p三证明题(,,)(,,)fxyzdxdydzfxyz如果三重积分的被积函数123(),(),(),(,,)fxfyfzfxyz是三个函数的乘积即123()()(),,,fxfyfzaxbcyd积分区域为,:,lzm证明这个重积分等于三个单积分的乘积即123()()()fxfyfzdxdydz123()()().bdmaclfxdxfydyfzdz123()()()bdmacldxdyfxfyfzdz证明左边123()()().bdmaclfxdxfydyfzdz.右边§7.3三重积分的计算(二)p.41一.填空p.41222.41..1.(,,)2(0)pfxyzxyzaza一设在:上连续,(,,)Ifxyzdxdydz则在球坐标系下的三次积分为.22cos22000(sincos,sinsin,cos)sinaddfrrrrdr2a2cosaxyzo2222393392.(,,),(,,)xxxyfxyzIdxdyfxyzdz设连续则I的柱坐标