数学分析课件 第一型曲线积分

返回后页前页§1第一型曲线积分本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分.此类积分的典型物理背景是求非均匀分布的曲线状物体的质量.二、第一型曲线积分的计算一、第一型曲线积分的定义返回返回后页前页一．第一型曲线积分的定义上的连续函是定义在()fP设某物体的密度函数数当是直线段时,应用定积分就能计算得该物体的质量.现在研究当是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题.(1,2,,).ini.iP(2)近似求和：在每一个上任取一点由于n(1)分割：把分成个可求长度的小曲线段i返回后页前页()fP为i上的连续函数,故当的弧长都很小时,i(),iifP每一小段的质量可近似地等于其中ii为小曲线段的长度.于是在整个上的质量就近似地等于和式1().niiifP1max0iind(3)当对的分割越来越细密(即)时,上述和式的极限就应是该物体的质量.由上面看到,求物质曲线段的质量,与求直线段的质返回后页前页量一样,也是通过“分割、近似求和、取极限”来得到的.下面给出这类积分的定义.(1,2,,),iiLinL个可求长度的小曲线段的弧长n,它把LLTL定义在上的函数.对曲线做分割分成,isT1||||max,iinTsiL记为分割的细度为在上任取一点(,)(1,2,,).iiin若有极限||||01lim(,),niiiTifsJ为平面上可求长度的曲线段,L(,)fxy定义1设为返回后页前页J(,)iiT与点且的值与分割的取法无关,则称此极限为(,)fxyL在上的第一型曲线积分,记作(,)d.Lfxys为空间可求长曲线段,L(,,)fxyzL若为定义在上(,,)fxyzL的函数,则可类似地定义在空间曲线上的第一型曲线积分,并且记作(,,)d.Lfxyzs于是前面讲到的质量分布在曲线段L上的物体的质返回后页前页量可由第一型曲线积分(1)或(2)求得.(,)d(1,2,,)iLfxysik(1,2,,)icik1.若在为常数,则1(,)dkiiLicfxys也存在,且11(,)d(,)d.kkiiiiLLiicfxyscfxysL12,,,kLLL2.若曲线段由曲线首尾相接而成,(,)d(1,2,,)iLfxysik(,)dLfxys都存在,则也存在,且返回后页前页1(,)d(,)d.ikLLifxysfxys3．(,)d(,)dLLfxysgxys若与都存在,且在L上则(,)(,),fxygxy(,)d(,)d.LLfxysgxys4．(,)d(,)dLLfxysfxys若存在,则||也存在,|(,)d||(,)|d.LLfxysfxys且返回后页前页(,)dLfxys若L,s5．存在,的弧长为则存在常数(,)d,Lfxyscs,c使得inf(,)sup(,).LLfxycfxy这里6.第一型曲线积分的几何意义为LLOxy(,)fxy若为坐标平面上的分段光滑曲线,上定义的连续非负函数.由第一型曲线的定义,易见Lz以为准线,母线平行于轴的柱面上截取返回后页前页0(,)zfxy(,)d.Lfxys的部分的面积就是yxzOL(,)zfxy201图返回后页前页二．第一型曲线积分的计算定理20.1设有光滑曲线(),:[,],(),xtLtyt(,)fxyL为定义在上的连续函数,则22(,)d((),())()()d.(3)LfxysftttttL1iitttt到证由弧长公式知道,上由的弧长122()()d.iititsttt22()()tt由的连续性与积分中值定理,有返回后页前页221()()().iiiiiiisttt1(,)niiiifs221((),())()(),niiiiiift22221((),())[()()()()],niiiiiiiift所以1,.iiiitt设这里则有返回后页前页1(,)niiiifs221((),())()().(4)niiiiiift令12max{,,,},0,nttttT则当时必有t0.0lim0.t现在证明因为复合函数((),())fttt关于连续,所以在闭区[,],M[,]t间上有界,即存在常数使对一切都有返回后页前页|((),())|.fttM22()()[,]tt在再由上连续,所以它在[,]0,0,必存在上一致连续,即对任给的使当时,t2222()()()(),iiii从而1||(),niiMtMba所以0lim0.t返回后页前页2201lim((),())()()niiiiitift22((),())()()d.bafttttt因此当在(4)式两边取极限后,即得所要证的(3)式.[,]ab上有连续的导函数时,(3)式成为2(,)d(,())1()d;bLafxysfxxxx再由定积分定义(),[,]yxxabL当曲线由方程表示,且在()x返回后页前页[,]cd上有连续导函数时,(3)式成为2(,)d((),)1()d.dLcfxysfyyyy例1设L是半圆周cos,:0π,sin,xatLtyat试计算第一型曲线积分22()d.Lxys解π22222230()d(cossin)dπ.Lxysaattta(),[,]xyycd当曲线L由方程表示,且在()y返回后页前页例224(0,0)(1,2)LyxOA设是从到一段(图20-2),试计算第一型曲线积分d.Lys解220d1d4Lyysyy2322022(1)34y4(221).3由参仿照定理20.1,对于空间曲线积分(2),当曲线L量方程(),(),(),[,]xtytztt表示时,Oyx124yx202图A返回后页前页(,,)dLfxyzs222((),(),())()()()d.(7)fttttttt其计算公式为:2d,LxsL2222xyza例3计算其中为球面被平面所截得的圆周.0xyz解由对称性知222ddd,LLLxsyszs所以返回后页前页22222312d()ddπ.333LLLaxsxyzssa4433(+)d,LxyxysL*例4计算其中为内摆线434433.xya解由对称性知dd0,LLxsys1444333dd4d,LLLxsysxs返回后页前页其中1(,),,0.LxyLxy33cos,sin,0,.2xatyatt444333(+)d8dLLxyxysxs47433208cos3sincosdt4.atatta222xya222yza*例5求圆柱面被圆柱面所而内摆线的参数方程为因此返回后页前页包围部分的面积A.解图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分,0.8AAOxy它的面积为把平面上的222xyaL位于第一象限的四分之一圆周记为,则被围柱面在第一卦限部分正是以曲线L为准线母线平行于z积分的几何意义可知它的面积为220ds.LAax220zax的那部分柱面.由第一型曲面轴的返回后页前页L的参数方程为:cos,sin,0.2xatyatt222200ds=1-cosdtLAaxata2220sindt.ata因此,2088.AAa定义,线密度为(,)xy的曲线状物体对于x,y轴的转动惯量分别为注由第一型曲线积分的yxzO222xya0A203图返回后页前页例6求线密度为2(,)1yxyx的曲线段:ln,12Lyxx对于y轴的转动惯量.22d1yLxyIsx22212ln11d1xxxxx解213lndln4.4xxx2(,)dxLIyxys2(,)dyLIxxys和返回后页前页复习思考题(,)fxyL1.若在光滑曲线上连续,是否一定存在00(,),xyL使得00(,)d(,),Lfxysfxys其中s是曲线L的弧长.(,)(,).xyLxyL(,)fxy2.设在光滑曲线L上连续,L满足条件:返回后页前页(,)fxy(,)(,),fxyfxy若满足条件:是否有(,)d0?Lfxys(,)fxy(,)(,),fxyfxy若满足条件:是否有(,)d2(,)d?LLfxysfxys其中(,):0.LxyLx3.证明以下第一型曲面的轮换对称性:设(,)fxy在光滑曲线L上连续,L满足条件:返回后页前页(,)(,).xyLyxL(,)fxy(,)(,),fxyfyx若满足条件:则(,)d(,)d.LLfxysfyxs