5.4第一类曲面积分

一、概念的引入若曲面是光滑的,它的面密度为连续函数),,(zyx,求它的质量.实例所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.二、对面积的曲面积分的定义设曲面是光滑的,函数),,(zyxf在上有界,把分成n小块iS（iS同时也表示第i小块曲面的面积）,设点),,(iii为iS上任意取定的点,作乘积),,(iiifiS,并作和niiiif1),,(iS,如果当各小块曲面的直径的最大值0时,这和式的极限存在,则称此极限为函数),,(zyxf在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分.1.定义即dSzyxf),,(iiiniiSf),,(lim10记为dSzyxf),,(.叫被积函数，其中),,(zyxf.叫积分曲面.0,dSdS叫做曲面的面积元素dSzyxf),,(21),,(),,(dSzyxfdSzyxf.2.对面积的曲面积分的性质则及可分为分片光滑的曲面若,21).(1,1),,(,即曲面的面积时当特别SdSzyxf三、计算法.),(,),(:.1上有连续的偏导数在函数平面上的投影在为若曲面xyxyDyxzxOyDyxzz按照曲面的不同情况分为以下三种：SDxy),(yxfzxyoz;1)],(,,[22dxdyzzyxzyxfxyDyxdSzyxf),,(则dzzddSyx221cosSDxy),(yxfzxyoz;1]),,(,[22dxdzyyzzxyxfxzDzxdSzyxf),,(则.1],),,([22dydzxxzyzyxfyzDzydSzyxf),,(),(.3zyxx：若曲面则对面积的曲面积分的计算方法是--------将其化为投影域上的二重积分计算2.:(,)yyxz若曲面::小结第一类曲面积分的计算步骤3.(:(,))(,,),((,,(,))).zzxyfxyzfxyzxy将的方程如代入被积函数中将它变为二元函数1.,(:(,)),(),().xyzzxyxOyD画出曲面的图形写出的方程如并将向某一坐标面投影面指出投影区域222.(1),xydSdSzzd求面积的微元xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxfdSzyxf221)),(,,(),,(),,(.4二重积分化为将一型曲面积分;1]),,(,[22dxdzyyzzxyxfxzDzx或.1],),,([22dydzxxzyzyxfyzDzy或.3)(3,)(.12222部分所截下的带锥顶的那一被平面是锥面其中计算曲面积分例zyxzdSyxdxdydxdyzzdSyxyzyxxzzyxDyxzyxyxxy213,3)0(3:,)(3::2222222222解92)(2)(,303202222drrddxdyyxdSyxxyD所以.,2如图示为封闭曲面计算例xyzdS1zyx1:,,,:43214321zyx为三个坐标面其中解dxdydxdyzzdSyxDyxzxyzdSxyzdSzyxfxxxy3110:,1:0),,(,,,2243214被积函数三个坐标面上在xdyyxxydxxyzdSxyzdS1010)1(341203计算dszyx)(,其中为平面5zy被柱面2522yx所截得的部分.例3积分曲面：yz5,解投影域：}25|),{(22yxyxDxydszyx)(故xyDdxdyyyx)5(2xyDdxdyx)5(2rdrrd5020)cos5(2.2125dxdyzzdSyx221dxdy2)1(01,2dxdy例4计算dSxyz||,其中为抛物面22yxz（10z）.解依对称性知：被积函数||xyz关于xoz、yoz坐标面对称轴对称，关于抛物面zyxz22有14成立，(1为第一卦限部分曲面)xyzdxdyzzdSyx221dxdyyx22)2()2(1原式dSxyz||dSxyz14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4其中1|),{(22yxyxDxy,}0,0yx利用极坐标trxcos,trysin,rdrrrttrdt102222041sincos4drrrtdt21050412sin22令241ruduuu251)41(41.42015125222221325,.zxyxyz例5曲面将球面分成三部分求此三部分的面积之比342225::yxz解922yx1622yx1A3AdxdyyxdS22255302202211025525511drrrddxdyyxdSAxyD402202232025525533drrrddxdyyxdSAxyD70543122AAA2:7:1::321AAA四、小结2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.1、对面积的曲面积分的概念;dSzyxf),,(iiiniiSf),,(lim10（按照曲面的不同情况分为三种）思考题在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义.221yxzz思考题解答是曲面元的面积,dS2211),cos(yxzzzn221yxzz故是曲面法线与轴夹角的余弦的倒数.z一、填空题:1、已知曲面的面a积为,则ds10_______；2、dszyxf),,(=yzDzyzyxf),),,((________dydz；3、设为球面2222azyx在xoy平面的上方部分,则dszyx)(222____________；4、zds3_____,其中为抛物面)(222yxz在xoy面上方的部分；5、dsyx)(22______,其中为锥面22yxz及平面1z所围成的区域的整个边界曲面.练习题二、计算下列对面积的曲面积分:1、dszxxxy)22(2,其中为平面622zyx在第一卦限中的部分；2、dszxyzxy)(,其中为锥面22yxz被柱面axyx222所截得的有限部分.三、求抛物面壳)10)((2122zyxz的质量,此壳的面密度的大小为z.四、求抛物面壳)10()(2122zyxz的质量，此壳的面密度的大小为.z练习题答案一、1、a10；2、22)()(1zxyx；3、42a；4、10111；5、221.二、1、427；2、421564a.三、6.四、)136(152.