复变函数与积分变换试题和答案

..复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i的模.幅角。2．-8i的三个单根分别为：..。3．Lnz在的区域内连续。4．zzf)(的解极域为：。5．xyiyxzf2)(22的导数)(zf。6．0,sinRe3zzs。7．指数函数的映照特点是：。8．幂函数的映照特点是：。9．若)(F=F[f(t)].则)(tf=F)][(1f。10．若f（t）满足拉氏积分存在条件.则L[f(t)]=。二、(10分)已知222121),(yxyxv.求函数),(yxu使函数),(),()(yxivyxuzf为解析函数.且f(0)=0。三、（10分）应用留数的相关定理计算2||6)3)(1(zzzzdz四、计算积分（5分×2）1．2||)1(zzzdz..2．cizz3)(cosC：绕点i一周正向任意简单闭曲线。五、（10分）求函数)(1)(izzzf在以下各圆环内的罗朗展式。1．1||0iz2．||1iz六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0tt与oiwte构成一对傅氏变换对。（2）)(2dteti七、（10分）应用拉氏变换求方程组0401zyzyxzyx满足x(0)=y(0)=z(0)=0的解y(t)。八、（10分）就书中内容.函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。..复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．22942ln.karctg22ln322.3-i2i3-i3.Z不取原点和负实轴4.空集5.2z6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.deFi)(2110.0)(dtetfst二、解：∵yuxxvxuyyv∴cxyu（5分）cxyyxizf222121)(∵f(0)=0c=0（3分）∴222222)2(2)(2)(zixyiyxiyxixyzf（2分）三、解：原式=（2分）kkzzzzsi,)3)(1(1Re262101z12z（2分）kkzzzzsi,)3)(1(1Re264333z4z2312(3,)3)(1(1Re66分）zzzs0,1)31)(11(11Re2,)3)(1(1Re266zzzzszzzs分）（=0∴原式=（2分）23126i=i63四、1．解：原式kkzzzsi,)1(1Re221（3分）z1=0z2=1]11[2i=0（2分）..2．解：原式izzisco!22izzi）（cosiicos=1ich五、1．解：nniiziiziiziiziizizzf0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（110)(nnnizinnnizi)(1（2分）2．解：iziiziziizzf11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nniziiz02)(120)(11nnnizi20)(nnnizi（2分）六、1．解：∵00)(0tietttitiedtett（3分）∴结论成立（2）解：∵1)(2210titiedwe（2分）∴)(2w与1构成傅氏对∴)(2dteti（2分）七、解：∵)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(ssZsYsZssYsXSssZsYssX（3分）S（2）-（1）：∴sssY111)(21111211112ssssss（3分）∴chteetYtt121211)(八、解：①定义；②C-R充要条件Th；③v为u的共扼函数10分..复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f(z)在区域D内可导是f(z)在D内解析的（）条件。2．w=z2在z=-i处的伸缩率为（）。3．iz212的指数表示式为（）。4．Ln(-1)的主值等于（）。5．函数ez以（）为周期。6．设C为简单闭曲线.则czzdz0=（）。7．若z0为f(z)的m级极点.则]),([Re0zzfs（）。8．若)(FFf(t)（）。9．)(20tt与（）构成一个付立叶变换对。10．已知L11][sin2st.则L]sin[tt（）。二、计算题(7分×7)1．求p.m.n的值使得函数)()(2323pxyxiynxmyzf为解析函数。2．计算3||2311zdzzz3．已知调和函数yxu)1(2.求解析函数ivuzf)(使得if)2(。4．把函数)2)(1(12zz在2||1z内展开成罗朗级数。5．指出函数zzzzf21)(2在扩充复平面上所有孤立奇点并求孤立奇点处的留..数。6．计算dzzzezz2||217．利用留数计算积份d20cos21三、积分变换（7分×3）1．设tttf00cossin)(（0为常数）.求F[f(t)]。2．设f(t)以2为周期.且在一个周期内的表达式为2020cos)(ttttf求L[f(t)]。3．求方程teyyy32满足条件1)0(,0)0(yy的解。（L[e-t]=11s）。..复变函数与积分变换试题答案（二）一、1．充要条件2.23.ie6544.i5.i26.原式=内不在内在CzCzi00027．)()()!1(10110zfzzdzdimlmmmzz8.deFitj)(219.02tje10.sarcctgsdss2112二、1.解：Pnnypyvnxyxu22（3分）3332222npyxxvnxmyyu3m=p∴3,1,3nmp（1分）2．原式=（25分）iiidzzzzz81624(23113||3||分）（分）3．原式=)(22xgyvyvyxu（2分）)()1(2xgxvxxucxxxg2)(2（2分）∴)1()1(2)(22xyiyxzf1)2)2(200ccyiyiifyy（2分）∴)12()1(2)(22xxyiyxzf（1分）4．解：＋＝－）（－＝0222221111111nnnzzzzz（2分）..02212112121＝＝－－－－nnzzz（2分）∴4010122212111－＝＋＝）＋（－＝－）（－－nkknnnnnnnbaCzzzz（3分）5．解：＝，＝，＝zzz20（2分）21221lim]0),([Re0zzzfsz（2分）21221lim]2),([Re2zzzfsz（2分）1]),([Rezfs（1分）6．解：原式（3分）22231,1Re1,1Re2122eeizzeszzesizz分）（12chi（1分）7．解：原式=（2分）izdzzzz1||22121=（1分）dzzziz1||2142=（1分）dzzziz1||)32)(32(2=（2分）32,142Re22zzisi=（1分）32323222ii三、1．解：F[f(t)]dttedtetftjtj02sin21)(（3分）)]2()2([[2100wi（4分）..2.解：L[f(t)]=（2分）202)(11dtetfests（2分）=02cos11dtteests=（2分）22111ssesess（1分）=22111sses3．解：F)32(yyy=F[e-t]（1分）11)(3))0()((2)0()()(2ssYYssYYssYsYs（2分）32111)(2ssssY=)1)(3)(1(2ssss（2分）]3,1,1,])([Re)(kstzesYstY=ttteee3818341（2分）..复变函数与积分变换试题（三）1.（5）复数z与点(,)xy对应,请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。2.（6）请指出指数函数zew、对数函数zwln、正切函数zwtan的解析域.并说明它们的解析域是哪类点集。3.（9）讨论函数22i)(yxzf的可导性.并求出函数)(zf在可导点的导数。另外.函数)(zf在可导点解析吗？是或否请说明理由。4.（7）已知解析函数vuzfi)(的实部yxyu233.求函数vuzfi)(的表达式.并使0)0(f。5.（6×2）计算积分：（1）Cnzzz10)(d,其中C为以0z为圆心,r为半径的正向圆周,n为正整数；（2）3||2d)2()1(ezzzzz。6.（5×2）分别在圆环（1）1||0z.(2)1|1|0z内将函数2)1(1)(zzzf展为罗朗级数。7.（12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。(1)3sin)(zzzzf;(2)zzzfsin1)(2;(3)11e)(zzzf...8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。9.（6分）求将上半平面0)Im(z保形映照成单位圆1||w的分式线性函数。10.（5×2）（1）己知F)()]([Ftf.求函数)52(tf的傅里叶变换；（2）求函数)i5)(i3(2)(F的傅里叶逆变换11.（5×2）（1）求函数)2(e)(2tutft的拉普拉斯变换；（2）求拉普拉斯逆变换L-1]54[2sss。12.（6分）解微积分方程：0)0(,1d)()('0yytyt。..复变函数与积分变换试题答案（三）1.（5分）请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。(cossin)izxiyreri23kizrez：,rArgz2.（6分）请指出指数函数zew、对数函数zwln、正切函数zwtan的解析域.并说明它们的解析域是哪类点集。指数函数zew、对数函数zwln、正切函数zwtan的解析域分别为：整个复平面,无界开区域；除去原点及负半实轴.无界开区域.；除去点2zk.无界开区域。3.（9分）讨论函数22i)(yxzf的可导性.并求出函数)(zf在可导点的导数。另外.函数)(zf在可导点解析吗？是或否请说明理由。解：2200uvuuxyxyyy.,uv可微所以xy时函数可导.且()2xyfzx。因为函数在可到点的任一邻域均不可导.所以可导点处不解析。4.（6分）已知解析函数vuzfi)(的实部yxyu233.求函数..vuzfi)(的表达式.并使0)0(f。解：3222323232323236,33,3()3i(3)(0)00()3i(3)uyxyuvuvxyyxxyyxvxxycfzyxyxxyicfcfzyxyxxy