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设f(x)在区间[a,b]上连续,则对于任意的x(),积分存在,axb()dxafxxaxb()dxafxx注意:积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是两个不同的概念,在求积时(或说积分过程中)上限x是固定不变的,而积分变量x是在下限与上限之间变化的()d.xaftt2-9变上限定积分,因此常记为是上限x的函数.()d()().bafxxfcba定理1(积分中值定理)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在[a,b]内至少存在一个点c,使得证则最小值.m和上有最大值上连续,它在在因为M],[],[)(babaxf].,[,)(baxMxfm,)(bababaMdxdxxfmdx),()()(abMdxxfabmba.)(Mabdxxfmba使得理,存在再由连续函数的介值定],,[bac,)()(abdxxfcfba()d()().bafxxfcba即前页结束后页几何意义:在上至少存在一点,使得曲边梯形的面积等于同一底边而高为的矩形的面积.[,]ab()fab前页结束后页oxbay)(xfy说明:•可把)(d)(cfabxxfba故它是有限个数的平均值概念的推广.c•积分中值定理对因00[,]()()d()[,],()(),xafabFxfttaxbababFxfxxab设在上连续,则其变上限积分的积分是上的连续函数,且在内可导,且,.定理20d()()d(),.dxaFxfttfxxabx即证],,(,),[00baxxxbax及由积分中值定理,有)()(F000xFxxaax0f(t)dtf(t)dtxx0f(t)dtxaf(t)dt0xaf(t)dt))((0xxcf,0前页结束后页).000xcxxx时(其中当由此推出)(lim000xFxx).(00xF.)(00处右连续在以上证明了xxF上的任意一点,是由于),[0bax.),[)F0中每一点都右连续在(也即证明了bax),,[,],(00baxxxbax及同理可证)(lim000xFxx),(00xF.],)F0中每一点都左连续在((即bax上右连续的结论,在),[ba)F0x(再结合刚才所得.],[)F0上连续在(于是证明了bax存在一点则由积分中值定理可知及设),,(),(x0baxba之间,且有与在0xxc前页结束后页)()(F000xFxxx0f(t)dt))((0xxcf由此推出),()()(0000cfxxxFxF时的连续性可知于是由函数时当000,,xxfxcxx),()(0xfcf因而).()()(lim000000xfxxxFxFxx).(|)(000xfdxxdFxx即得到换成上任意一点,故将上式为因xxbax00),().()(0xfdxxdF即证毕.由上述结论可知:尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同,但彼此有着密切的联系,因此我们可以通过求原函数来计算定积分.()[,]()()d(),.xafxabΦxfttfxab如果函数在区间上连续,则是在上的一个原函数定理2也称作原函数存在定理前页结束后页dttexFxt1205sin)(例1设?求)(xF解,12xy令则dttexFxt1205sin)(dtteygyt05sin)(由12xy和复合而成的复合函数.yyGxF)()(25sinyey).12(5sin212xex],,[)(baCxf若))()((xbbxdttfdttf则).()(xfdttfdxdxb前页结束后页例2设dttxFxx21)().(xF求解dttxFxx21)(dttx01dttx021)(xF)1(0dttx)1(02dttxx1)(122xxx1.122xx前页结束后页说明:1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:)(d)(ddxattfx)()]([xxf同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.)()(d)(ddxxttfx)()]([)()]([xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx
本文标题:2-9变上限定积分
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