重积分及其计算和多重积分

1/11三重积分和多重积分方法在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n维空间中去.类似于第三节,我们先定义一个R3中集合的可求体积性.同样可以给出一列类似的结论.读者自己推广.这里将不再赘述.一、引例设一个物体在空间R3中占领了一个有界可求体积的区域V，它的点密度为zyxf,,，现在要求这个物体的质量．假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域V分割为若干个可求体积的小区域nVVV,...,,21，其体积分别是nVVV,...,,21，直径分别是nddd,...,,21，即},||sup{|iiVQWWQd,(i=1,2,…,n）,|WQ|表示W,Q两点的距离．设},...,,max{21nddd，则当很小时，zyxf,,在iV上的变化也很小．可以用这个小区域上的任意一点iiizyx,,的密度iiizyxf,,来近似整个小区域上的密度，这样我们可以求得这个小的立体的质量近似为iiiiVzyxf,,，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值．即iiiiniVzyxfM,,1．当0时，这个和式的极限存在，就是物体的质量．即iiiiniVzyxfM,,lim10．从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限．所以我们也可以得到下面一类积分．二、三重积分的定义设zyxf,,是空间3R中的一个有界可求体积的闭区域V上的有界函数，将V任意分割为若干个可求体积的小闭区域nVVV,...,,21，这个分割也称为V的分划，记为P:nVVV,...,,21.oojiVV(空,ji),其体积分别是nVVV,...,,21，直径分别是nddd,...,,21．设},...,,max{21nddd,或记为||P||.在每个小区域中任意取一点iiiiVzyx,,，作和iiiiniVzyxf,,1(称为Riemann和)，若当0时，这个和式的极限存在，则称其极2/11限为函数zyxf,,在区域V上的三重积分，记为VdVzyxf,,．并称函数zyxf,,在区域V上可积．zyxf,,称为被积函数,x,y,z称为积分变量.,V称为积分区域.特别地，在直角坐标系下，可以记为Vdxdydzzyxf,,．我们同样可以引入Darboux大,小和来判别可积,也有同样的结论(略).1.若zyxf,,是有界闭区域V上的连续函数，则函数zyxf,,在区域V上可积．2.若zyxf,,=1时,VVdxdydz的体积.3.若zyxf,,在有界闭区域V上的间断点集合是0体积时,zyxf,,在V可积.三重积分有着与二重积分类似的性质．下面简单叙述一下．１．可积函数的和（或差）及积仍可积.和（差）的积分等于积分的和(差)．２．可积函数的函数k倍仍可积.其积分等于该函数积分的k倍．３．设是可求体积的有界闭区域，zyxf,,在上可积，分为两个无共同内点的可求体积的闭区域21,之并，则zyxf,,在21,上可积，并有VdzyxfVdzyxfVdzyxf21,,,,,,．等等.三、三重积分的计算方法同二重积分一样,我们这里给出三重积分的计算方法,理论上的证明读者自己完成..1.利用直角坐标系计算三重积分先给一个结论.定理12.14若函数zyxf,,是长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的可积,记D=[c,d]×[e,h],对任意x∈[a,b],二重积分DdydzzyxfxI,,)(存在,则baDbadxdydzzyxfdxxI,,)((记为Dbadydzzyxfdx,,)也存在,且hedcbaDbaVdzzyxfdydxdydzzyxfdxVdzyxf,,,,,,.这时右边称为三次积分或累次积分,即三重积分化为三次积分.证明分别中[a,b],[c,d],[e,h]插入若干个分点bxxxxan210;3/11xyyzxyezxyhzxyzxzxy图12-4-1dyyyycm210;hzzzzes210作平面ixx,jyy,kzz,(i=0,1,2,…,n;,ji=0,1,2,…,m;k=0,1,2,…,s,)得到V的一个分划P.令],,[],[],[111kkjjiiijkzzyyxxv(i=1,2,…,n;,ji=1,2,…,m;k=1,2,…,s,),ijkM,ijkm分别是zyxf,,在ijkv上的上,下确界.那么在],[],[11kkjjjkzzyyD上有kjijkDikjijkzyMdydzzyfzymjk),,(其中Δxi,=xi-xi-1,Δyj,=yj-yj-1,Δzk,=zk-zk-1,(i=1,2,…,n;,ji=1,2,…,m;k=1,2,…,s,).)(),,(),,(,iDikjDiIdydzzyfdydzzyfjkkjikjiijkniiikjikjiijkzyxMxIzyxm,,1,,)(因可积，所以当||P||趋于0时，Darboux大,小和趋于同一数，即三重积分.故定理得证.如果V如右图,e≤z≤h,z=z与V的截面面积为Dz,不难得到,若函数zyxf,,在V上的可积,那么zDheVdxdyzyxfdzVdzyxf,,,,.Dz4/11图12-4-2下面给出一般三重积分的具体计算方法，理论证明读者可参照二重积分自己完成．设函数),,(zyxf在有界闭区域上连续，我们先讨论一种比较特殊的情况．},,,,|,,{21yxzzyxzDyxzyx，其中xyD为在xoy平面上的投影，且})(,|,{21xyyxybxayxDxy．如图1２．我们现在z轴上做积分，暂时将yx,看成是常数．把函数zyxf,,看作是z的函数，将它在区间],,,[21yxzyxz上积分得到yxzyxzdzzyxf,,21,,．显然这个结果是yx,的函数，再把这个结果在平面区域xyD上做二重积分dxdydzzyxfyxzyxzDxy,,21,,．在利用二重积分的计算公式便可以得到所要的结果．若平面区域xyD可以用不等式xyyxybxa21,表示，则dVzyxf,,yxzyxzxyxybadzzyxfdydx,,2121,,．这个公式也将三重积分化为了三次积分．5/11图12-4-3如果积分区域是其他的情形，可以用类似的方法计算．例1计算三重积分xdV，其中是由三个坐标面和平面1zyx所围的立体区域．解积分区域如图所示，可以用不等式表示为yxzxyx10,10,10，所以积分可以化为2414131811211102341021010101010xxxdxxxdyyxxdxxdzdydxxdVxyxx四、三重积分的积分变换和二重积分的积分变换一样，有如下的结果:定理12.15设V是uvw空间R3中的有界可求体积的闭区域，T：x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w),是V到xyz空间R3中的一一映射，它们有一阶连续偏导数，并且Vwvuzzvzuzzyvyuyzxvxuxwvuzyx),,(,0),,(),,((称为Jacobi).如果f(x,y,z)是T(V)上的可积函数，那么dudvdwwvuzyxwvuzwvuywvuxfdxdydzzyxfVVT),,(),,()),,(),,,(),,,((),,()(在R3中有两种重要的变换柱面坐标和球面坐标.1.利用柱面坐标计算三重积分前面我们可以看到，由于积分区域与被积函数的特点，二重积分可以用极坐标来计算．同样对于三重积分可以用柱面坐标和球面坐标计算．我们先讨论用柱面坐标来计算三重积分．设空间中有一点zyxM,,，其在坐标面xoy上的投影点'M的极坐标为,r，这样三个数,,rz就称为点M的柱面坐标（如图12-4-4）．6/11图12-4-4x图12-4-5M’M(x,y,z)yz这里规定三个变量的变化范围是zr200，注意到，当r常数时，表示以z轴为中心轴的一个柱面．当=常数时，表示通过z轴，与平面xoy的夹角为的半平面．当z常数时，表示平行于平面xoy，与平面xoy距离为z的平面．空间的点的直角坐标与柱面坐标之间的关系,即是R3到R3的映射:zzryrxsincos．所以其Jacobi为,1000cossin0sincos),,(),,(rrrzrzyx故容易得到:如果f(x,y,z)是R3中的有界可求体积的闭区域V上的可积函数,则VVdzrdrdzrrfdVzyxf,sin,cos,,,其中,变换前后区域都用V表示.我们也可以从几何直观的意义来描述这个公式的由来.用三组坐标面311,,CzCCr将积分区域划分为若干个小区域，考虑其中有代表性的区域，如图12-4-5所示的区域可以看成是由底面圆半径为drrr和两个圆柱面，极角为d和的两个半平面，以及高度为dzzz和的两个平面所围成的．它可以近似的看作一个柱体，其底面的面积为rdrd，高为dz．所以其体积为柱面坐标下的体积元素，即dzrdrddV．再利用两种坐标系之间的关系，可以得到7/11图12-4-6图12-4-7M’VVdzrdrdzrrfdVzyxf,sin,cos,,．在柱面坐标下的三重积分的计算也是化为三次积分．例2计算三重积分dVyx22，其中是由椭圆抛物面224yxz和平面4z所围成的区域．解如图所示，积分区域在坐标面xoy上的投影是一个圆心在原点的单位圆．所以44,20,102zrr．于是324410532044102202222drrrddzrdrrddzrdrdrdVyxr2．利用球面坐标计算三重积分我们知道球面坐标用数,,r来表示空间的一个点．设有直角坐标系的空间点zyxM,,，点M在坐标面xoy上的投影'M，其中||OMr，为x轴到射线'OM转角．为向量OM与z轴的夹角．如图12-4-7．规定三个变量的变化范围是0200r．我们可以看到，注意到，当r常数时，表示以原点为球心的球面．当=常数时，表示通过z轴的半平面．当常数时，表示以原点为顶点，z轴为中心的锥面．两种坐标系之间的关系如下：cossinsincossinrzryrx．即又是一个即是R3到R3的映射.它的Jacobi是,sin0sincoscossincoscossinsinsinsinsincoscossin),,(),,(2rrrrrrrzyx8/11由一般的重积分变换公式容易得到:如果f(x,y,z)是R3中的有界可求体积的闭区域V上的可积函数,则VVddrdrrrrfdVzyxfsincos,sinsin,cossin,,2,其中,变换前后区域都用V表示.用几何直观的意义可以如下理解:已知f(x,y,z)闭区域V上的可积函数.用三组坐标r常数，常