计算方法 数值积分-插值型积分

第6次数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性计算方法(NumericalAnalysis)第四章数值积分1.数值积分引论2.机械求积方法3.以简单函数近似逼近被积函数方法-插值型求积公式4.插值型求积公式的例子5.求积公式的收敛性和稳定性数值积分引论第四章数值积分4.0引言若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式:baF(a)F(b)f(x)dx求定积分的值。评论：Newton-Leibnitz公式无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题。(1)被积函数f(x)没有用初等函数的有限形式表示的原函数F(x)，例如：dxe和dxxsinx10x102(2)被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，但表达式太复杂，例如的原函数：32xxf(x)22则无法应用Newton-Leibnitz公式。在实际计算中经常遇到以下三种情况：)32xxx2ln(216932xx16332xx41F(x)22222(3)被积函数f(x)没有具体的解析表达式,其函数关系由表格或图形表示。对于以上情况，通过Newton-Leibniz公式求原函数计算积分的准确值都是十分困难的。因而需要研究一种新的积分方法：数值解法来建立积分的近似计算方法。将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项式去代替被积函数f(x)进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。Home机械求积方法4.1数值积分概述baf(x)dxI图4-1数值积分的几何意义积分值的几何表示：由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围的曲边梯形面积。该面积难于计算是因为它有一条曲边y=f(x)。4.1.1数值积分的基本思想y=f(x)yab最常用的建立数值积分公式的两种方法：f(ξ)本段讲授机械求积方法.b][a,ξa)f(ξ),(bf(x)dxba即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为的矩形面积。但点ξ的具体位置是未知的,因而的值也是未知的。f(ξ)第1种：机械求积方法.第2种：使用简单函数近似代替被积函数的方法由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区间[a,b]内存在一点ξ，使得谜三个求积分公式y构造出一些求积分值的近似公式。则分别得到如下的梯形公式和中矩形公式。)2baf(f(ξ)2f(b)f(a)f(ξ)梯形公式中的f(ξ)y中矩形公式中的例如分别取：f(ξ)①梯形公式xabf(b)]a)[f(a)(b21f(x)dxbay=f(x)ab用梯形面积代表积分值②中矩形公式)2baa)f((bf(x)dxbay=f(x)abyx(a+b)/2ab用区间中点的函数值为高的矩形面积代表积分值y=f(x)y③Simpson公式f(b)])2ba4f(a)[f(a)(b61f(x)dxbaabSimpson公式是以函数f(x)在a,b,(a+b)/2这三点的函数值的加权平均值作为平均高度f().(a+b)/2Home以简单函数近似逼近被积函数方法插值型求积公式先用某个简单函数近似逼近f(x),用代替原被积函数f(x)，即baba(x)dxf(x)dx•函数应该对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。第2种：使用简单函数近似代替被积函数的方法(x)以此构造数值算法。•通常，将选取为f(x)的插值多项式,这样f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替。(x)(x)(x)要求：4.1.2插值求积公式n0kkk(x))lf(xP(x))(xω)x(xω(x)xxxx(x)lkknkj0jjkjk其中，对k=0,…,nn),0,1,(kxk)f(xk设已知f(x)在节点有函数值,作n次拉格朗日插值多项式…)x(x)x)(xx(xω(x)n10…bakn0kkbaba(x)dxl)f(xP(x)dxf(x)dxbakkbakkdx)(xω)x(xω(x)(x)dxlA其中称为求积系数。取作为的近似值，即baP(x)dxbaf(x)dxbakn0kk(x)dxl)f(xkn0kkbaA)f(xf(x)dx记为定义4.1求积公式n0kkkba)f(xAf(x)dx当其系数时，则称求积公式为插值（型）求积公式。bakk(x)dxlA(4.1)记(4.1)的余项为，由插值余项定理得R(f)ba1)(nbaω(x)dx1)!(n(ξ)fdxP(x)f(x)R(f)b][a,ξ其中注意：当f(x)是次数不高于n的多项式时，因此，求积公式(4.1)成为准确的等式。0(x)f1)(n0R(f)例1给定插值节点10f(x)dx为定积分43x,21x,41x210构造插值求积公式。43x21x843412141/43x21x(x)l043x41x1643214121/43x41x(x)l121x41x821434143/21x41x(x)l2解：以这三点为插值节点的Lagrange插值基函数为32dx43x21x8(x)dxl1010031-dx43x41x16)((x)dxl1010132dx21x41x8(x)dxl10102432f21f412f31f(x)dx10从而，得到插值型求积公式如下：例2设积分区间[a,b]为[0,2]，取x432e,x,x,xx,1,f(x)20f(2)f(0)f(x)dx20f(2)4f(1)f(0)31f(x)dx解:梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比较如下表所示计算其积分结果并与准确值进行比较。分别用梯形和辛卜生公式：f(x)1xx2x3x4ex定积分准确值222.6746.406.389梯形公式计算值2248168.389辛卜生公式计算值222.6746.676.421可以看出，当f(x)是x2,x3,x4时,辛卜生公式比梯形公式更精确。20f(2)f(0)f(x)dx20f(2)4f(1)f(0)31f(x)dx梯形公式辛卜生公式同学们，自己验证某求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标。代数精度的定义：如果求积公式（4.1）对于一切次数小于等于m的多项式是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式具有m次代数精度。mm2210xaxaxaaf(x)…abAAAn10在公式4.1中，令f(x)=1,x,x2,x3,…,xn若求积公式（4.1）的代数精度为n，则其系数应满足:kA2abxAxAxA22nn11001nabxAxAxA1n1nnnnn11n00………其系数矩阵nnn1n02n2120n10xxxxxxxxx111当n),0,1,(kxk}{Ak互异时，有唯一解………………定理4.1n+1个节点的求积公式n0kkkba)f(xAf(x)dx为插值型求积公式公式至少具有n次代数精度。证:必要性.设n+1个节点的求积公式n0kkkba)f(xAf(x)dxdx(x)lAbakkR(x)P(x)f(x)插值型求积公式判断条件为插值型求积公式，求积系数为：又，当f(x)为不高于n次的多项式时,f(x)=P(x),其余项R(f)=0。因而这时求积公式至少具有n次代数精度。nkj0jjkjkxxxx(x)ln),0,1,(k充分性：若求积公式至少具有n次代数精度,则对n次多项式精确成立，即从而0)(xk的时候，l而当j1,)(x注意ljkkk所以由（*）和(**)知：,即求积公式为插值型求积公式。(x)dxlAbakk其中))...))...))...))...nk1kk1-kk0kn1k1-k0kx-(xx-(xx-(xx-(xx-(xx-(xx-(xx-(x(x)ln0jjkjbak)(xlA(x)dxl(*)kn0jjkjA)(xlA(**)重要结论：梯形公式具有1次代数精度；辛卜生公式有3次代数精度（同学们自己验证）。baf(b)f(a)2abf(x)dx取f(x)=1，显然上式两端相等。取f(x)=x,ba22右b)(a2ab)a(b21xdx左取f(x)=x2,右)b(a2ab)a(b31dxx左ba22332所以梯形公式只有1次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证Home插值型求积公式的例子例3试确定一个至少具有2次代数精度的公式40Cf(3)Bf(1)Af(0)f(x)dx解:要使公式具有2次代数精度，则对f(x)=1,x,x2，求积公式准确成立，即得如下方程组。64/39CB83CB4CBA20/9C,4/3B4/9,A解之得：20f(3)12f(1)4f(0)91f(x)dx40所求公式为：插值型求积公式系数的值与1）积分区间[a,b]有关，2）节点的选取有关；3）和具体的f(x)无关例4试确定求积系数A,B,C，使得11Cf(1)Bf(0)1)Af(f(x)dx32CA0CA2CBA可验证，该公式对于f(x)=x3也成立(意外收获)，而对x4不成立。因此，该求积公式有3次代数精度。f(1)31f(0)341)f(31f(x)dx11A=1/3,B=4/3,C=1/3具有最高的代数精度。解:分别取f(x)=1,x,x2，使求积公式准确成立,得:Simpson求积公式做法：选定n+1个插值节点，按照插值公式构造求积公式后，应验算该求积公式是否还有n+1次或更高的代数精度。问题：n+1个节点的插值型求积公式的代数精度究竟有多高？回答：n+1个节点的插值求积公式保证了至少有n次代数精度。结论：n+1个节点的插值型求积公式的代数精度至少为n，但是有可能比n还大？解：该插值求积公式具有3个节点，因此至少有2次代数精度。f(b))2ba4f(f(a)6abf(x)dxba例5已知插值求积公式（按照插值公式构造的系数）将f(x)=x3代入公式两端，左端=右端=(b4-a4)/4,公式两端严格相等，再代入f(x)=x4两端不相等，故该求积公式具有3次代数精度。讨论该公式的代数精度。Simpson公式是否有3次代数精度呢？的代数精度。f(1)2f(0)1)f(21f(x)dx11例6考察求积公式评论：三个节点不一定具有2次代数精度，因为不是插值型的！！！解：可验证,对于f(x)=1,x时公式两端相等,再将f(x)=x2代入公式，经过计算，左端=2/3，右端=1。所以该求积公式具有1次代数精度.课堂练习例7给定求积公式如下：10)]432f()21f()41[2f(31f(x)dx试证此求积公式是插值型的求积公式。证明:1011dx左1，2]1[2311，右令f(x)21xdx左，21]4322142[31x，右令f(x)