无理根式的不定积分

8.3有理函数和可化为有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分二、三角函数有理式的不定积分三、某些无理根式的不定积分有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之为有理函数.其一般形式为mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(其中m、n都是非负整数；naaa,,,10及mbbb,,,10都是实数，并且00a，00b.一、有理函数的积分（1）假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn这有理函数是真分式；,)2(mn这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例1123xxx.112xx有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)有理函数化为部分分式之和的一般步骤：第一步对分母在实系数内作标准分解：xQ1121112ststtxaxaxpxqxpxq其中0,1,1,2,,ijbit均为自然数，而且第二步根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：xQ.,,2,1,04;2211tjqpmjjsitjji（1）分母中若有因式，则分解后为kax)(,)()(121axAaxAaxAkkk其中kAAA,,,21都是常数.特殊地：,1k分解后为;axA（2）分母中若有因式，其中kqpxx)(2则分解后为042qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk21222211)()(其中iiNM,都是常数),,2,1(ki.特殊地：,1k分解后为;2qpxxNMx第三步确定待定系数。一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母xQ，而其分子亦应与原分子xP恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．真分式化为部分分式之和的待定系数法6532xxx)3)(2(3xxx,32xBxA),2()3(3xBxAx),23()(3BAxBAx,3)23(,1BABA,65BA6532xxx.3625xx例12)1(1xx,1)1(2xCxBxA)1()1()1(12xCxBxxA代入特殊值来确定系数CBA,,取,0x1A取,1x1B取,2xBA,并将值代入)1(1C.11)1(112xxx2)1(1xx例2例3.1515221542xxx)1)(21(12xx),21)(()1(12xCBxxA,)2()2(12ACxCBxBA,1,02,02CACBBA,51,52,54CBA,1212xCBxxA)1)(21(12xx整理得例4求积分.)1(12dxxxdxxx2)1(1dxxxx11)1(112dxxdxxdxx11)1(112111lnln.xxCx解例5求积分解.)1)(21(12dxxxdxxxdxx2151522154dxxx)1)(21(1222212111255151lnxxdxdxxx2211121555lnln()arctan.xxxC例6求积分解.11632dxeeexxx令6xet,ln6tx,6dttdxdxeeexxx63211dttttt61123dtttt)1)(1(162dttttt213313623631132lnlnln()arctanttttCdttttt2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx36312lnlnttdttttd2221131)1(说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现两类情况：1();()kAdxxa22（）;()kMxNdxxpxq11111ln,,,.()kkxaCkdxCkxakxa对于1()224,prq,2MpNb则2()kMxNdxxpxq22()kMtdttr22()kbdttr222,xpxqtr,bMtNMx记,42222pqpxqpxx令tpx222();()kMxNdxxpxq021,k2()kMxNdxxpxq011,kdxqpxxNMx2)ln(22qpxxM;2arctanCapxab22()kMtdttr22()kbdttr222211()2(1)()kktdtctrktr令222222221()()()kkkdttrtIdttrrtr21222211()kktIdtrrtr122221111()2(1)()kkItdrrktr有理函数的原函数都是初等函数.结论1122221112(1)()kkktIIrrktr所以122212232(1)()2(1)kkktkIIrktrrk注用求有理真分式的最简分式分解式的方法求其积分往往很麻烦。所以，当我们求有理函数的积分时，应尽可能地考虑是否有其它更简便的解法。10(1)dxxx例791010(1)xdxxx＝10101ln101xCx101010111()()101dxxx10(1)dxxx解由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之为三角有理式．三角有理式的定义二、三角函数有理式的不定积分)cos,(sinxxR一般记为三角有理函数的积分，一般有如下规律(sinx)cosxdxsinRX令t(cosx)sinxdxcosRX令t2(tanx)secxdxtanRX令t（一）2cos2sin2sinxxx2sec2tan22xx,2tan12tan22xx,2sin2coscos22xxx（二）万能代换2sec2tan122xx,2tan12tan122xx令2tanxuuxarctan2（万能置换公式）,12sin2uux,11cos22uuxduudx212(sin,cos)Rxxdx2222212,.111uuRduuuu例8xdxcos1解法一：cxtgctdt2dtttt222111122xtgtIcxxdxxdxI2tan)2(2sec2cos2122xxdxdxdxxxI222sinsincsccos1cos1解法二：(用初等化简)解法三：(用初等化简,并凑微)cxxsin1cot.2tancxcxxcotcsc例9求积分.cossin1sindxxxx解,12sin2uux2211cosuux,122duudx由万能置换公式dxxxxcossin1sinduuuu)1)(1(22222211(1)(1)uuuduuuduuuuu)1)(1()1()1(222duuu211duu11uarctan)1ln(212uCu|1|lntan2xu2x|2sec|lnx.|2tan1|lnCx例10求积分.sin14dxx解（一）,2tanxu,12sin2uux,122duudxdxx4sin1duuuuu46428331Cuuuu]33331[8133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx解（二）修改万能置换公式,xutan令,1sin2uux,112duudxdxx4sin1duuuu2421111duuu421Cuu1313.cotcot313Cxx注当被积函数是x2sin，x2cos及xxcossin的有理式时，采用变换xttan往往较为简便.解（三）可以不用万能置换公式.dxx4sin1dxxx)cot1(csc22xdxxxdx222csccotcsc(cot)dx.cot31cot3Cxx结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.例11求积分.sin3sinsin1dxxxx解sinsin2sincos22ABABABdxxxxsin3sinsin1dxxxxcos2sin2sin1dxxxx2cossin4sin1dxxx2cossin141dxx2cos1412221sincos4sincosxxdxxxdxx2cos141dxxdxxxsin141cossin412dxx2cos141dxxxdxsin141)(coscos1412dxx2cos141xcos412tanln41x.tan41Cx1、讨论类型),,(nbaxxR),,(necxbaxxR解决方法作代换去掉根号.例12求积分dxxxx11解令txx1,12txx)0(bcadnndcxbaxtbaxt或令三、简单无理函数的积分,112tx,1222ttdtdxdxxxx11dttttt2221211222tdttdtt11122Cttt11ln2.11ln122Cxxxxx例13求积分.1113dxxx解令16xt,65dxdttdxxx3111dtttt52361dttt163Ctttt|1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.例14求积分.1213dxxxx解先对分母进行有理化原式dxxxxxxxx)1213)(1213()1213(dxxx)1213()13(1331xdx)12(1221xdx.)12(31)13(922323Cxx2、讨论类型dxcbxaxxR),(2型不定积分(0a时042acb，0a时042acb）．由于2222442abacabxacbxax22244,2abackabxu222222,,ukakuakua若记则此二次三项式必属于以下三种情形之一：因此上述无理根式的不定积分也就转化为:.,,,2222duukuRdukuuR当分别令tan,sec,sinuktuktukt后，它们都化为三角有理式的不定积分．例15求322xxxdx4)1(4)1(22uuduxxdx)1(ux解［解法一］按上述一般步骤，求得dtan2)1sec2(tansec2)sec2(u)2tan(tdttttd22211212cos2Ctdtt3arctan32