概率论 二重积分的计算(二)

3.2二重积分的计算二重积分的计算)()(21d),(dxyxybayyxfx)()(21)d),(d(yxyxdcxyxfyDyxyxfdd),(（一）在直角坐标系中（累次积分）或yx)(2yxx)(1yxxdcX-型Y-型复习yxab)(2xyy)(1xyy),(yxfy例计算其中,dd)(22Dyxyxe.:222ayxDxyodxxex2因此,针对不同形状的积分区域D以及被积函数的特点,选择不同的坐标系来计算二重积分是一个重要的问题.dyyey2或3.2二重积分的计算解Dyxyxedd)(22aaxxayxea)(222222dydxDyxyxedd)(22aayyayxea)(222222dxdy二、二重积分在极坐标下的计算极轴X极点Or),(r极坐标xy变换公式与直角坐标极坐标),(),(yxr如果选取以直角坐标系的原点O为极点，以x轴为极轴，之间与直角坐标坐标则平面上任意一点的极),(),(yxr的变换公式为原点Ox轴cosrxθrysin二重积分在极坐标下的计算用以极点O为中心的一族同心圆,1.利用极坐标系计算二重积分AoD设过极点O的射线与积分区域D的边界曲线的交点不多于两点，.),(上连续在函数Dyxf把区域D分成n个小区域，在极坐标系下，以及从极点出发的一族射线,在直角坐标系下Ddyxf),(Ddxdyyxf),(在极坐标系下Ddyxf),(极坐标系下的面积微元?如何表示σdDθrθrf)sin,cos(σdAoDrrrrr2221)(21rrr2)(21rrr域为其中一个典型小闭区设同时也表示该(),小闭区域的面积的同心圆和它由半径分别为rrr的射线所确定，和和极角分别为则,充分小时当r,)(212r略去高阶无穷小量,rr得故面积微元为,rdrddDσdyxf),(Dθrθrf)sin,cos(rdrd这样二重积分在极坐标系下的表达式为二重积分在极坐标下的计算Dσdyxf),(直角坐标系下与极坐标系下二重积分的转换公式如何计算极坐标系下的二重积分？化为二次积分或累次积分来计算Dθrθrf)sin,cos(rdrdDdxdyyxf),(.)sin,cos(θrdrdθrθrfD二重积分在极坐标系下的表达式为二重积分在极坐标下的计算在极坐标系下化二重积分为二次积分或累次积分，同样要解决下面两个问题：（2）确定积分的上、下限（1）选择积分次序化为二次积分或累次积分来计算二重积分在极坐标下的计算2.极坐标系下化二重积分为二次积分(1)若极点O在区域D之外),()(,:21θθβθαrrrD则有Drrrrfθθθdd)sin,cos((2)极点O在区域D的边界线上),(0rr，则有Drrrrfθθθdd)sin,cos(xo)(2θr)(1θrαβxo)(θrrαβ.d)sin,cos(d)()(21θθβαθθθrrrrrrf.d)sin,cos(d)(0θβαθθθrrrrrfDD（只研究先对r后对θ的积分次序）下面根据极点O与区域D的位置分三种情况讨论型区域(3)若极点O在区域D的内部Drrrrfθθθdd)sin,cos(则有).(0,π20θθrr)(rrxo.d)sin,cos(d)(0π20θθθθrrrrrfDo)(1r)(2r且,),(r)(:Dπθθθ2021rr特殊地D.rdr)sinr,cosr(fd)(r)(rπθθθθθ2120Drrrrfθθθdd)sin,cos(D:二重积分在极坐标下的计算x或被积函数为f(x2+y2)、利用极坐标计算二重积分积分特征利用极坐标常能简化计算.如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，等形式，),(xyf)(yxf要点与步骤:(1)用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用极坐标计算;(2)画区域图,列出型区域,写成极坐标下的二次积分.二重积分在极坐标下的计算3.极坐标下二重积分计算的基本步骤(1)将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分.①将代入被积函数,θθsin,cosryrx②将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限.将面积元素dxdy换为.,ddrr(2)将极坐标系下的二重积分转化为二次积分.Dyxyxfdd),(.dd)sin,cos(Drrrrfθθθ(3)计算二次积分.则例1计算其中解,200:πθarD故,dd)(22Dyxyxe.:222ayxDDrrreθdd2D)yx(ydxde22).1(2aeπ注：由于的原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算.2xexyoπθ200dd2arrreθπd210202are在极坐标系下二重积分在极坐标下的计算.1:,12222yxDyxdxdyID计算20,10|),(rrD1rDrrdrdI21.2110220rrdrd21212121)()()()(,rrrrrdrrrgdxfrdrdrgf一般地xy例2二重积分在极坐标下的计算解例3计算积分.ddsin2222π4π22yxyxyx积分域是圆环，.2,20πππθr2222π4π22ddsinyxyxyx]dcoscos[2π2ππ2πrrrrπxyoπ2ππ20dsindrrrθ解D：.62π2222π4πdrdsinyxθrr二重积分在极坐标下的计算(例3.14)πrπ2r计算二重积分Ddxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域为}41|),{(22yxyxD.Ddxdyyxyx2222)sin(2120sinrdrd.4}20,21|),{(rrDDrdrdrr)sin(1r2r例4二重积分在极坐标下的计算解例5计算二重积分其中区域D为由x=0及x2+y2=2y围成的第一象限内的区域.，Dyxyxdd22解D的边界曲线为x2+y2=2y，此时D可以表示为,sin2θr，θθsin20,2π0rDyxyxdd222π0sin203d31θθr2π03dsin38θθ2π02cosd)cos1(38θθ2π03coscos3138θθxyo其极坐标表达式θrrθsin2022π0dd.916DrdrdrDyxyxdd222020222yydxyxdy二重积分在极坐标下的计算解32πθ61πθsin4rdxdyyxD)(2236sin4sin22rdrrd).32(15yyx42203yx03xyθrsin2yyx222故,yyxDydx)dy(xD22222由圆，其中计算.xy,yx,yyx所围成的平面区域0303422例6二重积分在极坐标下的计算解因为被积函数为偶函数,例7求广义积分所以，不能直接用一元函数的广义积分计算。(泊松积分,例3.19）.202dxeIx所以又因为被积函数的原函数不是初等函数,2xe.2dxeIx二重积分在极坐标下的计算D22xyDHedxdy令{(,)|0,0}Dxyxy其中dxex02dyey0220)(2dxex42I利用极坐标计算H，{(,)|0,0}2Drr22xyDHedxdy令2xIedx2200rderdr22xyDHedxdy22001[]2red20124d利用极坐标计算H，{(,)|0,0}2Drr所以所求广义积分D正态分布222dxexdxex02242I42IdxeIx2.π当积分区域由直线和除圆以外的其它曲线围成时，一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环形区域，选取适当的坐标系对计算二重积分的计算是至关重要的.而被积函数中含有项时,yxxyyx,,22选择坐标系选择积分次序二重积分计算过程通常选择在直角坐标系下计算.下的计算方法往往比较简便.二重积分计算方法总结：化为累次积分计算累次积分二重积分可在两种坐标系下计算.采用极坐标系.分数的奇偶性计算二重积利用区域的对称性和函二则轴对称关于若,)1(yD则轴对称关于若,)2(xD二重积分在极坐标下的计算),(),(),(yxfyxfdxdyyxfD),(),(),(yxfyxfdxdyyxfD,),(2dxdyyxfD右),(),(yxfyxf,0,),(2dxdyyxfD上),(),(yxfyxf,0.1yxdxdyxy计算由区域的对称性和函数的奇偶性可得oxyDdxdyxyD4原式xxydydx10104二重积分在极坐标下的计算解例7.10112yxdxdyxy计算oxy111DdxdyxyD22原式1D2DdxdyxydxdyxyDD21222212102)(2xdyxydx.)(220210xdyyxdxdxdyyxdxdyxyDD21)(2)(222解二重积分在极坐标下的计算例3.17——3.18不作要求例8二、二重积分在极坐标系中的计算一、二重积分在直角坐标系中计算小结Ddxdyyxf),(.)sin,cos(θrdrdθrθrfDDdxdyyxf),()()(21d),(dxyxybayyxfx选择积分次序选择积分限化为累次积分.)d),(d()()(21yxyxdcxyxfy作业：P1533.212(1)(2)13(2)(3)下次课内容3.3二重积分的应用二、二重积分在极坐标系下的计算一、二重积分在直角坐标系下的计算复习Ddxdyyxf),()()(21d),(dxyxybayyxfx.)d),(d()()(21yxyxdcxyxfyDdxdyyxf),(.)sin,cos(θrdrdθrθrfD选择积分次序选择积分限化为累次积分二重积分的计算Drdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()()(21θθβαrdrθrθrfθdrr.)sin,cos()(0θβαrdrθrθrfθdr.)sin,cos()(020θπrdrθrθrfθdr（极点O在区域D的外部）（极点O在区域D的边界上）（极点O在区域D的内部）只研究先对r后对θ的积分次序xo)(2θr)(1θrαβDxo)(θrrαβD)(rrxoD