大一下学期微积分期末复习题

1复习应以认真并全面阅读并消化教材、笔记和作业中有关的内容为主，本复习内容仅提供练习的机会。特别，其内容与补考无关。1、求函数2uxyz=在点(1,1,1)P沿向量(2,1,3)l=−的方向导数。2、求函数432zxyx=+在点(1,2)处的全微分。3、计算二重极限2200416limxyxyxy→→−+。4、设),(yxzz=由方程(,)0fxzxy+=确定，且0,1==yx对应于1=z，其中),(vuf具有连续的偏导数，且0)1,1()1,1(≠=vuff，求)0,1(zgrad。5、设(,)zfxy=是由方程(,)0Fyxyz−=所确定的隐函数，F的二阶偏导数连续，求22ux∂∂。6、已知椭圆22:194xyL+=周长是A，求22(249)dLIxyxys=++∫。7、过直线27523330xyzxyz+−=+−=作曲面22262254xyz+−=的切平面，求此切平面的方程。8、计算二重积分21sin3yyydydxxπ∫∫+422sin3yydydxxπ∫∫。9、求坐标面xOz上的双曲线22221xzac−=分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程。10、求∫+−−Ldyyxdxyx)sin()(22，其中L是在曲线3yx=上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧。11、求幂级数()()2111221nnnxnn+∞=−−∑的收敛域及和函数()sx。12、求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程。13、设函数32(,)zfxyxy=二阶偏导数连续，求2zxy∂∂∂。14、设∑∞=12nna收敛，考察级数21(1)2nnnan∞=−+∑的收敛性。15、直线210:320xyLxz+−=+−=与平面:21xyzΠ+−=是否平行？若不平行，求交点。若平行，求直线L与平面Π之间的距离。16、求过点（2，0，-3）且与直线=+−+=−+−012530742zyxzyx垂直的平面方程。217、求660cosyxdydxxππ∫∫。18、证明=+≠++=000),(222222yxyxyxxyyxf在点（0，0）处两个偏导数都存在，但此函数在点（0，0）不可微。19、改变二次积分∫∫−−−xxdyyxfdx214262),(的积分次序。20、证明等式：22()min{,}2xyxyedxdyπ+∞+∞−+−∞−∞=−∫∫。21、求2342(cos)dIxxyxyvΩ=+⋅⋅+∫∫∫，其中Ω由曲面221()3zxy=+与平面2z=和6z=所围成。22、计算曲线积分∫∩−+−AOdyymxyxdxymxy]cos[][sin2332，其中弧段∩AO是沿axyx=+22从O(0,0)到A(a,0)的下半圆周。23、求幂级数∑∞=−−1122)32(10nnnx的收敛域。24、求函数22zxy=+在圆22(2)(2)9xy−+−≤上的最大值与最小值25、证明幂级数2111,112nnxn∞−∑＋（－）（，）和函数()fx的极值是1。26、设正项数列{nx}单调增加且有界，证明级数∑∞=+−11)1(nnnxx收敛。27、设()fx在[0,1]上连续且∫=104)(dxxf，求∫∫101)()(xdyyfxfdx。28、计算三重积分dvzyx∫∫∫Ω++)(22，其中Ω为由曲线==022xzy绕z轴旋转一周形成的曲面与平面4=z所围成的区域。29、设(,,)ufxyz=各个偏导数连续，函数()yyx=及()zzx=分别由下列两个方程所确定：sinyexx−=，0sin2zxtedtt=∫，求dudx。30、求坐标原点到曲面22()5xyz−−=的最短距离。31、求数项级数221(1)2nnn∞=−∑的和。32、计算三重积分2dddxzzyΩ∫∫∫，其中222222:1xyzabcΩ++≤。33、设级数∑∞=1nna收敛且1lim=∞→nnb，证明：级数∑∞=1nnnba收敛。334、设)(xf在[a,b]上连续，求证：2])([21)()(∫∫∫=babxbadxxfdyyfdxxf。35、设)(xyy=满足微分方程''3'2xyyye−+=，且其图形在点(0,2)处的切线与曲线22yxx=−+在该点的切线重合，求函数)(xyy=。36、交换积分次序：22222820020d(,)dd(,)dxxIxfxyyxfxyy−=+∫∫∫∫。37、求曲面231xyz−+=在点(2,1,2)−处的切平面及在三个坐标轴上的截距。38、求幂级数11(1)!nnnxn∞=+−∑的和函数。39、求微分方程2d(1)d0(0)1xyxxyy++==的特解。40、求级数101313nnn+∞=+∑的和。