6-2牛莱公式及简单定积分计算

第2节牛莱公式与简单定积分计算一、问题的提出二、积分上限函数及其导数三、牛顿—莱布尼茨公式四、凑微法简单积分计算五、小结dttfdttfxaxxa)()(定理6.2.1设函数)(xf在区间],[ba上连续,[,]xab二、积分上限函数及其导数()()xaFxftdt称为积分上限函数.性质：证明()FxxF()xxaftdt()()FxxFx如果)(xf在],[ba上可积，则积分上限的函数在],[ba上连续.()()xaFxftdt,)(xxxdttf因为)(xf在],[ba上可积，则在],[ba有界.)(xf由积分中值定理得()Ffx],,[xxx由极限性质知,00limlim()0xxFfx由连续函数定义知,],[ba上连续.函数在()()xaFxftdt定理6.2.2(连续函数的原函数存在定理）如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数在],[ba可导，且它的导数为()()xaFxftdt()()()xadFxftdtfxdx)(bxa定理的重要意义：(1)肯定了连续函数的原函数是存在的.(2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.证明F()()FxxFx,)(xxxdttf()Ffx],,[xxxxx,0(),Ffx()Fx0limxFx证毕.0lim()xf().fx由函数的连续性和积分中值定理得)(xf由定理6.2.1的证明知,对区间端点的情况用单侧导数说明即可.求上限函数的导数应注意:()()()xadxftdtfxdx“”中的表达式是一样的.例1求.sindttdxdxa根据上限函数求导数公式得xadtdtdxsinxsin解如果)(tf连续，)(xa、)(xb可导，则dttfxFxbxa)()()()(的导数)(xF为定理证明()Fxdttfxb)(0)(,)()(0dttfxa()Fx()Fx()()fbxbx()()faxax()()faxax()()fbxbx()()()bxaxdftdtdx0()()0()bxaxftdt例2已知).(,)(xFdtexFxt求20解由上限函数的求导公式的()Fx例3设dttxxx231sinln)()(,求).(x解()x22xxe2331121xxxxx(sin)sincos(ln)22()xex2(sin)x31(ln)x(ln)x231(sin)x三、牛顿—莱布尼茨公式定理6.2.3（微积分基本公式）如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数,则又dttfxxa)()(也是)(xf的一个原函数,已知)(xF是)(xf的一个原函数,证明CxxF)()(],[bax()()()()bbaafxdxFbFaFx令ax()(),FaaC0)()(dttfaaa(),FaC,)()(CdttfxFxa()xaftdtbx()bafxdx()().FbFa()(),FxFa()bafxdx微积分基本公式表明：()baFx一个连续函数在区间],[ba上的定积分等于它的任意一个原函数在区间],[ba上的增量.注意当ba时，)()()(aFbFdxxfba仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题.例4求.dxx102解120xdx1331013x()()FbFa例5计算.dxx2121解2211dxx11122211x例6下列计算是否正确?1211dxx112111x解不正确.因为],[1112在x上不可积.被积函数在积分区间上为正,但积分值是负的,与积分性质矛盾.使用牛莱公式时,一定要注意被积函数在积分区间上的可积性.例7计算.cosdxx2211解2211cosdxx注意:恒等变形时,一定要使被积函数有意义.2222xtan例8计算.cosdxx221解原式dxx22222sindxx2222sin022sin2xdx2002222222xxcoscos424注意:计算定积分开根号时,一定要带绝对值.202sin2xdx222122cosdxx练习：201xxdxdxxxdxxx)()(1121101注意:当被积函数带有绝对值时,先去绝对值.例11求.},max{222dxxx解},max{)(2xxxf220xx01xx212xx022xdx原式.21110xdx221xdx四、简单定积分的计算----凑微法例12计算.sincos205xdxx解,cosxt2x,0t0x,1t205sincosxdxx015dtt1066t.61,sinxdxdt解例13计算.sinsin053dxxxxxxf53sinsin)(23sincosxx053sinsindxxx023sincosdxxx2023sincosdxxx223sincosdxxx2023sinsinxdx223sinsinxdx2025sin52x225sin52x.54解例14计算.)ln1(ln43eexxxdx原式43)ln1(ln)(lneexxxd43)ln1(ln)(lneexxxd432)ln(1ln2eexxd43)lnarcsin(2eex.6例15设函数为连续的奇函数,)(xf且已知,)(adttf10求积分的值.10()fxdxx解1100()2()fxdxfxdxx102()fxdx102()2fudua例16(030204)设440012tan,tanxxIdxIdxxx,则()12()1AII12()1BII21()1CII21()1DII解因为当时,[0,]4xx故tanxx401tanxIdxx40tanxdxx2I这便排除了选项(C)和(D).,tanxxsinxtan,x又令tan(),xfxx则22sincoscosxxxxx即在单调增加,()fx[0,]40.22sectanxxxx()fx有tanxx故/401tanxIdxx/4041,dx即选项(B)正确.tan(/4)/44,五、综合题(1)求导数例１已知函数)(xyy由方程011100202dxxdttdttxy)ln(sin确定。求).(xy解方程两边关于求导数得x0122xyysin解得y22sin1xy解()yx2tcot22ttcossin例２已知)(xyy由参数方程ttduuyduux0202cossin求).(xy确定，2020cossinttudtudt例３求.lim21cos02xdtextx解1cos2xtdtedxd,cos12xtdtedxd)(cos2cosxex,sin2cosxex21cos02limxdtextxxexxx2sinlim2cos0.21e00分析：这是型不定式，应用洛必达法则.(2)求不定式的极限(3)利用牛顿莱布尼兹公式及定积分定义求和式极限例6求][lim22222212111nnnnnn解原式][lim22222212111111nnnnnn12011dxx1arctan4例7设)(xf在),(内连续，且0)(xf.证明函数xxdttfdtttfxF00)()()(在),0(内为单调增加函数.证明xdtttfdxd0)(),(xxfxdttfdxd0)(),(xf()Fx(4)证明单调性、方程的根0020()()()()()xxxxfxftdtfxtftdtftdt020xxfxxtftdtftdt()()(),())0(,0)(xxf,0)(0xdttf,0)()(tftx0()()xxtftdt).0(0)(xxF故)(xF在),0(内为单调增加函数.()Fx0020()()()()()xxxfxxftdtfxtftdtftdt0练习设)(xf在]1,0[上连续，且1)(xf.证明1)(20dttfxx在]1,0[上只有一个解.提示：,1)(2)(0dttfxxFx例９(040403)设1,0()0,0,1,0xfxxx0()(),xFxftdt(A)在点不连续.()Fx0x(B)在内连续,在点不可导()Fx(,)0x(D)在内可导,但不一定满足()Fx(,)(C)在内可导,且满足()Fx(,)()()Fxfx()()Fxfx(5)求函数关系并讨论其连续性则()当时,0x当时,显然0x()Fx(0)0;F当时,0x()1Fx解()Fx0lim()xFx在处连续()Fx0x当时,0x()1Fx当时,0x在处不可导.故B正确()Fx0x0(1)xdt01xdtxx00lim()xFx0()xftdt0()xftdt(0)F3.微积分基本公式1.积分上限函数xadttfx)()(2.积分上限函数的导数()()xfx牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．()()()bafxdxFbFa五、小结设)(xf在],[ba上连续，则dttfxa)(与duufbx)(是x的函数还是t与u的函数？它们的导数存在吗？如存在等于什么？思考题dttfxa)(与duufbx)(都是x的函数)()(xfdttfdxdxa)()(xfduufdxdbx思考题解答(980205)确定常数,,abc的值,使30sinlim(0).ln(1)xxbaxxcctdtt解因为0x时sin0,axx且30sinlim0ln(1)xxbaxxtdtt故xbxtdtt30ln(1)lim0(*)思考[,0)b若0,b则在内3ln(1)0;tt若0,b则在内3ln(1)0;tt(0,]b故(*)均不成立.0.b再用罗必达法则:30sinlimln(1)xxbaxxtdttxaxxx30coslimln(1)20coslim.xaxx若1,a则上式为,与条件不符,故1,a从而再用罗必达法则得1/2.c一、填空题：1、baxdxedxd22=_______.2、xadxxfdxd))((__________.3、223)1ln(xdtttdxd_______.4、20)(dxxf____，其中21,210,)(2xxxxxf.5、设,coscos1nxdxmxIdxnxmxsinsin，练习题（1）、当nm时，1I=__,2I=_____，（2）、当nm时，1I=___,2I=_____.6、设,sincosnxdxmx（1）、当nm时，3I=____,（2）、当nm时，3I=_____.7、94)1(d