二重积分(习题)

1第九章二重积分习题9-11、设13221)(DdyxI,其中}22,11|),{(1yxyxD;又23222)(DdyxI,其中}20,10|),{(2yxyxD,试利用二重积分的几何意义说明1I与2I之间的关系.解：由于二重积分1I表示的立体关于坐标面0x及0y对称,且1I位于第一卦限部分与2I一致,因此214II.2、利用二重积分的几何意义说明:(1)当积分区域D关于y轴对称,),(yxf为x的奇函数,即),(),(yxfyxf时,有0),(Ddyxf;(2)当积分区域D关于y轴对称,),(yxf为x的偶函数,即),(),(yxfyxf时,有1),(2),(DDdyxfdyxf,其中1D为D在0x的部分.并由此计算下列积分的值,其中}|),{(222RyxyxD.(I)Ddxy4;(II)DdyxRy222;(III)Ddyxxy2231cos.解：令DdyxfI),(,1),(1DdyxfI,其中1D为D在0x的部分,2(1)由于D关于y轴对称,),(yxf为x的奇函数,那么I表示的立体关于坐标面0x对称,且在0x的部分的体积为1I,在0x的部分的体积为1I,于是0I;(2)由于D关于y轴对称,),(yxf为x的偶函数,那么I表示的立体关于坐标面0x对称,且在0x的部分的体积为1I,在0x的部分的体积也为1I,于是12II.(I)由于}|),{(222RyxyxD关于y轴对称,且4),(xyyxf为x的奇函数,于是04Ddxy;(II)由于}|),{(222RyxyxD关于x轴对称,且222),(yxRyyxf为y的奇函数,于是0222DdyxRy;(III)由于}|),{(222RyxyxD关于x轴对称,且2231cos),(yxxyyxf为y的奇函数,于是01cos223Ddyxxy.3、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小:(1)DdyxI21)(与DdyxI32)(,其中D是由x轴、y轴与直线1yx所围成;解：由于在D内,10yx,有23)()(0yxyx,所以1232)()(IdyxdyxIDD.(2)DdyxI)ln(1与DdyxI22)][ln(,其中}10,53|),{(yxyxD.3解：由于在D内,63yxe,有1)ln(yx,2)][ln()ln(yxyx,所以221)][ln()ln(IdyxdyxIDD.4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值：(1)DdyxxyI)1(,其中}20,10|),{(yxyxD；解：由于D的面积为2,且在D内,8)1(0yxxy,那么1628)1(200Ddyxxy.(2)DdyxI)94(22,其中}4|),{(22yxyxD；解：由于D的面积为4,且在D内,25313949222yyx,那么100425)94(493622Ddyx.(3)DyxdI22coscos100,其中}10|||||),{(yxyxD；解：由于D的面积为200,且在D内,1001coscos1001102122yx,那么2100200coscos1001022005110022Dyxd＝.4习题9-21、计算下列二重积分：(1)Ddyx)(22,其中D是矩形区域:1||,1||yx；解：38)31(2)()(11211112222dxxdyyxdxdyxD.(2)Dyxdxye22,其中},|),{(dycbxayxD；解：baxcdbadcyxDdxxeeedyxyedxdyx22222)(21)()(22.))((412222cdabeeee.(3)Ddyx)23(,其中D是由两坐标轴及直线2yx所围成的闭区域；解：320)224()23()23(2022020dxxxdyyxdxdyxxD.(4)Ddyxx)cos(,其中D是顶点分别为)0,(),0,0(和),(的三角形闭区域.解：23)sin2(sin)cos()cos(000dxxxxdyyxxdxdyxxxD.2、画出积分区域,并计算下列二重积分：(1)Ddyx,其中D是由两条抛物线2,xyxy所围成的闭区域；5解：556)(3210447102dxxxdyyxdxdyxxxD.(2)Ddxy,其中D是由直线xyxy2,及2,1xx所围成的闭区域；解：492321212xdxdyxydxdxyxxD.(3)Ddyx)2(,其中D是由xyxy1,及2y所围成的闭区域；解：619)112()2()2(2122211dyyydxyxdydyxyyD.(4)Dyxde,其中D是由1||||yx所确定的闭区域.解：10110111xxyxxxyxDyxdyedxdyedxdeeeeeeedxeedxeexx1212232)()(101201112.a:=0..1;b:=x-1..-x+1;f:=exp(x+y);int(f,y=b);int(int(f,y=b),x=a);simplify();3、如果二重积分Ddyxf),(的被积函数),(yxf是两个函数)(1xf及)(2yf的乘积,即)()(),(21yfxfyxf,积分区域},|),{(dycbxayxD,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,6即12(,)()()bdacDfxydfxdxfydy.证明：badcbadcDdyyfxfdxdxyxfdxdyxf)()(),(),(211212()()()()bdbdacacfxfydydxfxdxfydy.4、化二重积分DdyxfI),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分),其中积分区域D是：(1)由曲线xyln、直线2x及x轴所围成的闭区域；图形plot([ln(x),0,[[2,0],[2,ln(2)]]],x=0..2,y=0..0.8,color=1);解：2ln0221ln0),(),(yexdxyxfdydyyxfdxI.(2)由y轴及右半圆22yax所围成的闭区域；图形plot([(1-x^2)^(1/2),-1*(1-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);7解：aayaaxaxadxyxfdydyyxfdxI22222200),(),(.(3)由抛物线2xy与直线32yx所围成的闭区域.图形plot([x^2,3-2*x],x=-3..1,color=1);解：319201(,)(,)yyyyIdyfxydxdyfxydx.5、改换下列二次积分的积分顺序：(1)10),(yydxyxfdy；解：102),(xxdyyxfdxI.8(2)10),(eeydxyxfdy；解：exdyyxfdxI1ln0),(.(3)101122),(yydxyxfdy；解：21222),(xxxdyyxfdxI.(4)2120100),(),(2xxdyyxfdxdyyxfdx；9解：102),(yydxyxfdyI.(5)0sin2sin),(xxdyyxfdx；图形plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]],x=0..Pi,color=1);解：10arcsinarcsin01arcsin2),(),(yyydxyxfdydxyxfdyI.(6)21202022),(),(2xaaxxaxdyyxfdxdyyxfdx.图形plot([(2*x-x^2)^(1/2),(2*x)^(1/2),[[2,0],[2,2]]],x=0..2,color=1);解：aayaaayaaaydxyxfdydxyxfdyI020222222),(),(aaaaydxyxfdy2222),(.6、设平面薄片所占的闭区域D由直线xyyx,2和x轴所围成,它的面密度22),(yxyx,求该改薄片的质量.图形plot([2-x,x],x=0..2,y=0..1,color=1);解：10222)(),(xyDdxyxdydyxm34)384438(1032dyyyy.107、求由平面1,1,0,0yxzyx及yxz1所围成的立体的体积.图形with(plots):A:=plot3d([x,y,1],x=0..1,y=0..1-x):B:=plot3d([x,1-x,z],x=0..1,z=1..2):F:=plot3d([x,0,z],x=0..1,z=1..1+x):G:=plot3d([0,y,z],y=0..1,z=1..1+y):H:=plot3d([x,y,1+x+y],x=0..1,y=0..1-x):display({A,B,F,G,H},grid=[25,20],axes=BOXED,scaling=CONSTRAINED,style=PATCHCONTOUR);解：102101031)1(21)(]1)1[(dxxdyyxdxdyxVxD.8、为修建高速公路,要在一山坡中辟出一条长m500,宽m20的通道,据测量,以出发点一侧为原点,往另一侧方向为x轴(200x),往公路延伸方向为y轴(5000y),且山坡高度为xyz20sin500sin10,试计算所需挖掉的土方量.图形plot3d(10*sin(Pi*y/500)+sin(Pi*x/20),y=0..500,x=0..20);解：)(70028)20sin500sin10(32005000mdyxydxzdVD.9、画出积分区域,把积分DdyxfI),(表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D是：(1))0(}0,|),{(222axayxyxD；图形plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解：220)sin,cos(ardrrrfdI.(2)}2|),{(22yyxyxD；图形plot([1+(1-x^2)^(1/2),1-(1-x^2)^(1/2)],x=-1..1,color=1);解：yyx222sin22rrsin2r,于是110sin20)sin,cos(rdrrrfdI.(3)}|),{(2222byxayxD,其中ba0；图形plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)],x=-2..2,color=1);解：20)sin,cos(bardrrrfdI.(4)}0,10|),{(2xyxyxD.图