1 不定积分定义

第四章积分及其应用§4.1不定积分概念与性质【学习本节要达到的目标】1、理解不定积分和原函数的概念2、理解不定积分与微分的关系2、掌握不定积分的性质本章主要内容一元函数的不定积分和定积分的概念与性质、积分法、无穷区间的广义积分和定积分的应用。要解决这些实际问题，自然会想到微分运算的逆运算，这就是产生积分运算的原因。提出这样的逆问题，是因为它存在于许多实际的问题中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的切线斜率（或斜率所满足的某一规律），求曲线方程等等。回顾:微分学的基本问题是“已知一个函数,如何求它的导数.”那么,如果已知一个函数的导数,要求原来的函数,这类问题,是微分法的逆问题.这就产生了积分学.为了更好地理解积分运算是导数（微分）运算的逆运算，我们在介绍积分运算时，把乘方运算（开方）和它作比较：我们熟悉乘方运算：)1(823也熟悉导数运算：)'1(22xx于是提出新问题：)2(8?3)'2(2?x同样提出问题：这不是乘方运算，而是它的逆运算—开方运算。这不是求导运算，而是它的逆运算—积分运算。一般来说，在下式里)3(3ba)'3()()(xfxF同样，在下式里,3,3ababbababaab若已知，未知，由则称（）式为乘方运算，称为的立方。若已知，未知，由则称（）式为开方运算，称为的立方根。()()()(),3'()()()()()(),3'()()FxfxFxfxfxFxfxFxfxFxFxfx若已知，未知，由则称（）式为求导运算，称为的导数。若已知，未知，由则称（）式为积分运算，称为的原函数。通过上面的比较，对积分运算与原函数有了初步认识，以下先给出原函数与不定积分的有关的定义。一、原函数与不定积分定义(),IfxxI对于定义在区间上的函数若对)()(xfxF有()()FxfxI则称是在区间上的一个原函数1例xxcossinsincos(,)xx是的一个原函数xx1ln1ln(0,)xx是的一个原函数这样就给我们提出了问题：原函数存在的条件？原函数有多少个？这些原函数之间有何关系？如何求出这些原函数？例如而在上是的原函数(,)sinxcosxsin1,sin3xx也是它的原函数即加任意常数都是的原函数.sinxcosxsin1,sin2xx原函数存在定理2例2)(xxfCR,31)(3xxF)()(xfxF(1)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是唯一的,且有无穷多个),()(xfxF若)(])([xfCxF则的原函数，是即若)()(xfxF.)(亦是则CxF若函数ƒ(x)在区间I上连续,则ƒ(x)在区间I上的原函数一定存在.(2)若函数f(x)在区间I上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项.)()(),()(xfxGxfxF设)()(xFxG)()(xFxG0,)()(CxFxGCxFxG)()(即:结论),()(xfxF若原函数都可用的则)(xf.)(表示CxF()(),fxdxfx表示函数的原:函数的全体定义则称()fxdx的不定积分为)(xf即号分积数函积被被积表达式项数常dxxf)(积分变量CxF)(3例dxx5求解,)6(56xx665xdxx4例dxx211求解211arctanxxxdxxarctan112CC5例dxx1求解,0)ln(,0lnlnxxxxx当当1dln(0).xxCxx所以)0(lnd1xCxxx.1)(ln0x'xx时，有当时，当0x'x)ln(有x1'x)()1(1x,1x)0()ln(d1xCxxx(1)[()d]()d()d()dfxx'fxfxxfxx或，(2)()d()d()()F'xxFxCFxFxC或，微分运算与积分运算互为逆运算.不定积分与微分的关系先积后微形式不变先微后积差一常数6例.tanseclnsec成立验证等式Cxxxdx解.是左端的被积函数即可的导数只要验证等式右端函数依据不定积分的定义，时，由于）当（0tansecxx])tan[ln(secxx)tanln(sec1xx)sectan(sec2xxx,secx.所以，已给等式成立.0tansec给等式成立时，类似地可以验证已）当（xx.立综上所述，已给等式成7例),2,1(已知某曲线过点处切线点其上),(yx的两倍，的斜率为x求其方程)(xfy设曲线方程则由题意知xxf2)()(xfdxx22xxy0C解),2,1(曲线过点又,12C1C即.12xy故所求曲线为OxyxCxFy)()(xFy函数f(x)的原函数图形称为f(x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f(x)的积分曲线族.在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行（如图）.f(x)为积分曲线在(x,f(x))处的切线斜率.不定积分的几何意义21d2所以yxxxC(2,3)1C把代入上述方程，得，练习设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等于这点的横坐标，求此曲线方程.解设所求的曲线方程为,依题意可知()yfx，y'x因此所求曲线的方程为21.2xy二、基本积分公式(6)sindcosxxxC(1)dkxkxCd(3)ln||.xxCx(5)d.eexxxC1(2)d(1).1xxxC(4)d.lnxxxCaaa22d(8)cscdcot.sinxxxxCx(10)sectandsec.xxxxC(7)cosdsin.xxxC22d(9)secdtan.cosxxxxCx(11)csccotdcsc.xxxxC21(12)darcsin.1xxCx21(13)darctan.1xxCxCxdxx11dxxx2求8例解9例解dxxx31求dxxx2dxx25125125x.7227Cxdxxx31dxx27127127x.5225CxCCYdxedxxxxx22,113）（）求（解10例dxxx31)1(dxx34Cx1343411Cx313dxexx2)2(Cexx2ln2dxex)2()2ln()2(eexC练习：dxexx2求dxaxCaaxln三、不定积分的运算性质性质2被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面.性质1可以推广到有限多个函数的情形，即性质1函数代数和的不定积分等于不定积分的代数和，即dxxgxf)]()([)1(;)()(dxxgdxxfdxxkf)()2(.)(dxxfk)0(k常数dxxfxfxfn)]()()([21.)()()(21dxxfdxxfdxxfn注意：不定积分没有积和商的运算法则。'xxg'xxf'xxgxxf])d([])d([])d()d([，)()(=xgxf证只要证明上式右端的导数等于左端的被积函数即可.由导数运算法则以及不定积分与微分的关系，有这说明是函数的不定积分，所以欲证的等式成立.xxgxxf)d()d()()(xgxf性质1函数代数和的不定积分等于不定积分的代数和，即dxxgxf)]()([)1(;)()(dxxgdxxf例11求32543)d.(2xxxx322d5d4d3dxxxxxxx3232543)d2d5d4d3d(2xxxxxxxxxxx解4321523.23xCxxx注逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可)1(21例dxxx)3(32求解dxxx)3(32dxxx)3(25661x3x解.)1213(22dxxx求dxxx)1213(22xarctan3xarcsin2CC练习dxxx23)1(dxxxxx223133)2(.arctan33Cxxxxxxd11)1(22xxxxxxxd11)1)(1(d1222224解xxxxd11d)1(22.d1224xxx例13求.)1(21222dxxxx求dxxxx)1(21222dxxxxx)1(12222dxxdxx2211114例解xxarctan1Cdxxxxx)1(122dxxxxx)1()1(22dxxx1112dxxdxx1112.)1(122dxxxxx求练习解arctanln||xCx15例解xdx2cot求xdx2cotdxx)1(csc2xcotxC16例解dxx2sin2求dxx2sin2dxx)cos1(21x(21)sinxC练习：xdx2tan求练习：dxx2cos2小结原函数与不定积分的概念基本积分公式用直接积分法求不定积分要注意对被积函数变形)()(xfxF的一个原函数是)()(xfxFCxFxf)()(为的所有原函数可以表示()fxdxCF(x)直接积分法:用基本积分公式及积分性质求积分的方法直接积分法作业P92.A组2（1）；3（1）（3）（5）（7）（9）B组1