2.6重积分的换元法

一、二重积分的换元法.sin,cosryrx间的关系为坐标与极坐标之平面上同一个点，直角的一种变换，坐标平面到直角平面上式可看成是从极坐标xoyro换是一对一的．，且这种变平面上的一点成，通过上式变换，变面上的一点平即对于),(),(yxMxoyrMro.),()],(),,([),(:)3(;0),(),(),()2(),(),,()1(),(),,(:),(DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是一对一的，则有变换上雅可比式在；上具有一阶连续偏导数在且满足，平面上的变为平面上的闭区域将连续，变换上平面上的闭区域在设定理:(1)(,),,.JacobiJuvD说明如果行列式只在内个别点上或一条曲线上为零而在其他点上不为零则上述换元公式仍成立(2),(,),,(,).DfxyDfxy换元形式的选择可根据积分区域或被积函数选择使换元后的积分区域不分块换元后的被积函数易于积出22,12,4.DxydxdyDxyxyyxyx例1计算二重积分其中是由双曲线和直线和所围成的第一象限内的区域,,,yDuxyvxDD解根据积分区域的特点，令则区域变换为如图所示xy=2xy=1oxy4ouv121而,:,uxTvyuv3112(,)12(,),(,)21122uvxyuvJuvuvvvuuv故22212DDxydxdyududvv2241117ln223ududvv例2解所围成的闭区域．线轴和直轴、由其中计算2,yxyxDdxdyeDxyxy,,xyvxyu令.2,2uvyuvx则,DDDxyo2yxDuvovuvu2v0;0;22.xuvyuvxyv即),(),(vuyxJ,2121212121DvuDxyxydudvedxdye21故vvvuduedv2021201)(21vdvee.1ee被积函数形式化简通过换元可将较复杂的说明:例3解所围成的闭区域．椭圆为其中计算1,122222222byaxDdxdybyaxD.20,0,0,0rba其中,sin,cosbryarx作广义极坐标变换},20,10),{(rrDD在这变换下.),(),(abrryxJ故换元公式仍成立，处为零，内仅当在0rDJdrdabrrdxdybyaxDD2222211.32ab二、三重积分的换元法，且满足空间的闭区域变为空间的闭区域将连续，变换上空间区域在设定理OxyzouvwwvuzzwvuyywvuxxTzyxf),,(),,(),,,(:),,(;0),,(),,(),,()2(),,(),,,(),,,()1(wvuzyxwvuJwvuzwvuywvux上雅可比式在连续偏导数；上具有一阶在dudvdwwvuJwvuzwvuywvuxfdxdydzzyxf),,()],,(),,,(),,,([),,(是一对一的，则有变换:)3(T例12()cos(),{(,,)|01,01,01}.Ixyzxyzdvxyzxyxzxyz计算其中=解:为了使积分区域变得简单，我们作坐标变换：,,,xyuxzvxyz于是11(),(2),331(2)3xuvyuvzuv111333(,,)2111(,,)(,,)3333121333xyzJxyzuv22(,,)cos()(,,)1cos()3xyzIdudvduvdudvd于是111200011cos()sin1.36Idudvd,,{(,,)|01,01,01}uvuvuv再用表示,得因此例2222222222222,1.xyzdvabcxyzabc求其中为椭球体sincossinsincosxaybzc解把分式看作一个整体,那么积分区域就可以看成一个球面,因此我们做如下的坐标变换sincossinsincosxaybzc即于是(,,)(,,)(,,)sincoscoscossinsinsinsincossinsincoscossin0xyzJxyzaaabbbcc2sinabc因此4214000sinsin45Iabcdddabcdddabc该题所用到的变换称为广义球坐标变换.二、小结的形式．同时也兼顾被积函数的形状，于积分区域．作什么变换主要取决),,(),,(,1zyxfyxfD基本要求:变换后定限简便，求积容易．.),(),(1),(),(.2yxvuvuyxJ计算deyxyyxD2)(，其中D：1yx，0x和0y所围成.思考题令yvyxu,vyvux雅可比行列式1),(),(vuyxJ,变换后区域为思考题解答oxy1yxDouvvuDdeyxyyxD2)(DdudvJvuf||),(dveuvduuu2010dueuu2102).1(41eD：1yx1u0x0vu0y0v一、作适当的变换,计算下列二重积分:1、Ddxdyyx22,其中D是由两条双曲线1xy和2xy,直线xy和xy4所围成的在第Ⅰ象限的闭区域.2、Ddxdyyx)(22,其中D是椭圆区域:1422yx.二、设D是由曲线333,4,yxxyxy,34yx所围成的第Ⅰ象限部分的闭区域,求其面积.三、试证:Ddxdycbyaxf)(11222)(12ducbaufu,其中D为0,12222bayx且.练习题一、1、2ln37；2、325.二、81.练习题答案