第一章-矩阵论

矩阵论南京邮电大学理学院许立炜第一章线性空间与线性变换•线性空间是对所有与维向量空间具有同样性质的客观事物的数学抽象.•线性变换是线性空间映入到自身的一种特殊的映射，它保持了加法与数乘运算的对应关系.•本章内容既是线性代数知识的深化和提高，也是学习本书的基础.n第一节线性空间的基本概念一.数域定义设P是包含0和1的数集，若P中数的和、差、积、商（0不作除数）均在P内，则称P是一个数域.例1数集是一个数域。QbabaF,2定义若集合上定义了某种运算，而中任意元素进行这种运算所得的结果均仍在中，则称集合对这种运算封闭.定义设P是包含0和1的数集，若对加、减、乘、除（0不作除数）运算封闭，则称P是一个数域.1、线性空间的定义二.线性空间的定义与性质定义例2n维向量空间（及其子空间）按照向量的加法以及向量与实数的数乘都构成实线性空间。nR例3全体实矩阵，在矩阵的加法及数乘两种运算下构成一个实线性空间，记为.nmnmR例4区间[a,b]上的全体连续实函数，按照函数的加法及数与函数的乘法构成一个实线性空间，记为C[a,b].例5全体次数小于n的实系数多项式，按照通常的多项式的加法及数与多项式的乘法，构成一个实线性空间，记为，即显然对通常的多项式加法及数与多项式的乘法两种运算封闭.xPn1,1,0,012211niRaaxaxaxaxpxPinnnnn例6全体次数等于n的实系数多项式，在多项式的加法及数与多项式的乘法运算下不能构成一个线性空间.xxxf2122xxxg13xxgxf例7齐次线性方程组AX=0的全体解向量，在向量的加法及数乘两种运算下构成一个线性空间，也就是通常所说的解空间；而非齐次线性方程组的全体解向量，在上述两种运算下不构成一个线性空间.例8仅含有零向量的集合{0}按照向量的加法以及向量与复数的数乘构成一个复线性空间，称为零空间.•V中只有一个零向量；•V中每个向量只有一个负向量；•0a=0，k0=0，(-1)a=-a；•若ka=0，则k=0或a=02、线性空间的性质第二节基、坐标与维数1．有关概念一.向量组的线性相关性定义设V为数域P上的线性空间，对V中的向量（元素），如果存在一组实数，使得则称是向量组的一个线性组合，或可由向量组线性表示.称为组合系数（或表示系数）m,,,,21mmkkk2211Pkkkm,,,21m,,,21m,,,21mkkk,,,21定义设V为数域P上的线性空间，对V中的向量,若存在一组不全为零的数，使得，则称线性相关.否则称线性无关.m,,,21Pkkkm,,,2102211mmkkkm,,,212．有关结论（1）线性无关m,,,2100212211mmmkkkkkk（2）一个向量线性相关；两个以上的向量线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.02,,,21mm（3）若线性无关,但线性相关，则可由线性表示，且表示法唯一.m,,,21,,,,21mm,,,21（5）如果向量组线性无关，并且可由向量组线性表示，则.s,,,21t,,,21ts（6）等价的线性无关组必定含有相同个数的向量.（4）线性无关组不含零向量.二.线性空间的基与维数1．基与维数定义1.5设V是一线性空间,若,满足（1）线性无关；（2）V中任一向量都可由线性表示；则称是线性空间V的一组基，n称为V的维数，记为dimV，并称V为n维线性空间,记为,此时V也称是有限维线性空间.nVVn,,,21n,,,21n,,,21n,,,21•如果对预先指定的任何正整数N，在V中总可以找到N个线性无关的向量，则称V是无限维线性空间;如：C[0,1]•在本书中，只讨论有限维空间；•零空间{0}是零维的，没有基；•n维线性空间V中最多有n个线性无关的向量；•n维线性空间V中任意n个线性无关的向量都是V的一组基.2．向量的坐标定义1.6设是n维线性空间V的一组基，对，可由线性表示，且表示法唯一，若（1.1）记，称是在基下的坐标.（1.1）式也常记为的形式.n,,,21Vnnxxx2211TnxxxX,,,21XXn,,,21n,,,21n,,,21例在中,易证,是的一组基,中任一元素,在这组基下的坐标是.xP32321,,1xfxff2cxbxafTcba,,xP3xP3例在中，容易验证是其一组基，中任一元素在这组基下的坐标是.22R,000111E,001012E,010021E100022EdcbaATdcba,,,22R由这两个例子可看出，在数域P上的n维线性空间V中取定了一组基后，V中的元素通过（1.1）式与数域P上的n维向量建立了一一对应的关系:当V是n维实线性空间时,V与之间就建立了一一对应的关系，且此映射保持了线性关系的不变，这种映射称为同构映射，此时称V与同构。n,,,21Tnxxx,,,21niPxi,,2,1,nRnR例求中的秩和极大无关组.22R,10111A,20222A,01113A,11024An维线性空间V中任意n个线性无关的向量都是V的一组基.同一个向量在两组基下的坐标是不同的，下面主要研究同一个向量在不同基下的坐标之间的联系.三.基变换与坐标变换定义1.7设和是n维线性空间V的两组基，显然它们可以互相线性表示，若将上式用矩阵形式表示成（1.2）则称为由基到基的过渡矩阵.（1.2）式称为基变换公式.,,,22112222112212211111nnnnnnnnnncccccccccn,,,21n,,,21nn,,,,,,2121nnnnnnccccccccc212222111211nnnnnncccccccccC212222111211n,,,21n,,,21注:基变换公式（1.2）只是一个形式表达式，不是真正意义上的矩阵等式.下一定理将给出过渡矩阵的性质及不同基下坐标之间的关系.注：（1.3）式就是n维线性空间V中向量在两组基下的新旧坐标之间的坐标变换公式.定理1.1设和是n维线性空间V的两组基，由基到的过渡矩阵为C，则C是可逆的；且如向量在这两组基下的坐标分别是X与Y，则X=CY（1.3）n,,,21n,,,21n,,,21n,,,21例1.16在中取两组基求由基到基的过渡矩阵.11212234233232231xxxxxxxxxxx2322221223423322231xxxxxxxxxxxP44321,,,4321,,,第三节线性子空间一.子空间的概念定义设V为数域P上的线性空间，W是V的非空子集，若W关于V中的线性运算也构成数域P上的线性空间，则称W是V的线性子空间，简称子空间.对任何线性空间V,显然由V中单个零向量构成的子集是V的子空间,称为V的零子空间;V本身也是V的子空间.这两个子空间称为V的平凡子空间.其它子空间称为V的非平凡子空间.定义设V为数域P上的线性空间，W是V的非空子集，若W关于V中的线性运算也构成数域P上的线性空间，则称W是V的线性子空间，简称子空间.一.子空间的概念定理1.2设W是线性空间V的非空子集，则W是V的子空间的充要条件是：W对V中的线性运算封闭.例函数集合是线性空间C[a,b]的子空间.0,afbaCxf1,afbaCxf例函数集合不是线性空间C[a,b]的子空间.例取的子集证明W是的子空间，并求W的维数.xP4xP4RaaaaaxaxaxaxpWi,0012012233•设向量组与向量组等价，则.m,,,21s,,,21mSpan,,,21sSpan,,,21例设V为数域P上的线性空间，是V中的一组元素，则是V的子空间，称为的生成子空间，称为该子空间的生成元.PkkkkkkSpanmmmm,,,,,,21221121m,,,21m,,,21m,,,21•的任一极大无关组是的一组基，且的维数=的秩.m,,,21mSpan,,,21mSpan,,,21m,,,21定理1.3线性空间V的任何一个子空间W的基都可以扩充成V的一组基.二.子空间的交与和定义设是线性空间V的两个子空间，称为与的交.而称为与的和.21,WW2121且22112121，＋＋2W1W1W2W定理1.4设V是数域P上的线性空间，是V的两个子空间，则与都是V的子空间.21,WW21WW21WW＋定理1.5（维数定理）设V是数域P上的线性空间，是V的两个子空间，则21,WW212121dimdimdimdim＋＋例1.24设,,其中求与的基与维数.,10111A,20222A,01113A,11024A21WW21WW＋211,AASpanW432,AASpanW需要指出的是,在中,元素的分解式一般是不唯一的.如：例1.24中，或可见零元素的分解式不唯一.针对这种现象，下面讨论子空间的一种特殊的和.21WW＋21,0000WOWOOOO221121,WW＋24311431,1102011110110000WAAWAAAAO三.子空间的直和定义设是线性空间V的两个子空间，若中每个元素的分解式是唯一的，则称为直和,记为.21,WW21WW＋21WW＋21WW221121,WW＋下面的定理给出了判断子空间是否是直和的充分必要条件.定理1.6设是线性空间V的两个子空间，则下列条件等价：（1）是直和；（2）中零元素的分解式唯一，即由0可推出0；（3）；（4）若与分别是的线性无关组,则也线性无关；（5）.21,WW21WW＋21WW＋221121,WW＋21021WW21,WW2121dimdimdim＋＋r,,,21,,,,21rs,,,21s,,,21推论设是线性空间V的两个子空间，若是直和，则.21WW＋21,WW的基＋＝的基的基2121值得一提的是,该结论的逆命题不成立.如中，取子空间与，显然，且成立但0可见零元素的分解式不唯一，即不是直和.213WWxPxP3xSpanW,1122,xxSpanW的基＋＝21WW的基＝的基的基xPxxxxxWW32221,,1,,121,WxWxxx＋定理1.7设是线性空间的一个子空间，则必存在的一个子空间，使nVn