多元函数的基本概念52729

§8.1多元函数的基本概念一、平面点集n维空间二、多元函数概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性提示：一、平面点集n维空间1.平面点集坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集记作E{(xy)|(xy)具有性质P}集合R2RR{(xy)|xyR}表示坐标平面一、平面点集n维空间1.平面点集坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集记作E{(xy)|(xy)具有性质P}例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C{(xy)|x2y2r2}或C{P||OP|r}其中P表示坐标为(xy)的点|OP|表示点P到原点O的距离注：设P0(x0y0)是xOy平面上的一个点是某一正数点P0的邻域记为U(P0)它是如下点集邻域}|||{),(00PPPPU或})()(|),{(),(20200yyxxyxPU点P0的去心邻域记作),(0PU即}||0|{),(00PPPPU如果不需要强调邻域的半径则用U(P0)表示点P0的某个邻域点P0的某个去心邻域记作)(0PU任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种点与点集之间的关系•内点如果存在点P的某一邻域U(P)使得U(P)E则称P为E的内点•外点如果存在点P的某个邻域U(P)使得U(P)E则称P为E的外点•边界点如果点P的任一邻域内既有属于E的点也有不属于E的点则称P点为E的边点边界点内点外点提问E的内点、外点、边界点是否都必属于E？E的边界点的全体称为E的边界记作E聚点如果对于任意给定的0点P的去心邻域),(PU内总有E中的点则称P是E的聚点点集E的聚点P本身可以属于E也可能不属于E例如设平面点集E{(xy)|1x2y22}满足1x2y22的一切点(xy)都是E的内点满足x2y21的一切点(xy)都是E的边界点它们都不属于E满足x2y22的一切点(xy)也是E的边界点它们都属于E点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点开集如果点集E的点都是内点则称E为开集闭集如果点集的余集Ec为开集则称E为闭集举例点集E{(xy)|1x2y22}是开集也是开区域点集E{(xy)|1x2y22}是闭集也是闭区域点集E{(xy)|1x2y22}既非开集也非闭集区域(或开区域)连通的开集称为区域或开区域闭区域开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域连通性有界集对于平面点集E如果存在某一正数r使得EU(Or)其中O是坐标原点则称E为有界点集无界集一个集合如果不是有界集就称这集合为无界集点集{(xy)|xy1}是无界闭区域点集{(xy)|xy1}是无界开区域举例点集{(xy)|1x2y24}是有界闭区域我们把n元有序实数组(x1x2xn)的全体所构成的集合记为Rn即RnRRR{(x1x2xn)|xiRi12n}2.n维空间x(x1x2xn)称为Rn中的一个点或一个n维向量xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量0(000)称为Rn中的原点或n维零向量我们把n元有序实数组(x1x2xn)的全体所构成的集合记为Rn即RnRRR{(x1x2xn)|xiRi12n}•线性运算设x(x1x2xn)y(y1y2yn)为Rn中任意两个元素R规定xy(x1y1x2y2xnyn)x(x1x2xn)这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间2.n维空间注：Rn中点x(x1x2xn)和点y(y1y2yn)间的距离记作(xy)规定•两点间的距离2222211)()()(),(nnyxyxyxyxRn中元素x(x1x2xn)与零元0之间的距离(x0)记作||x||即在R1、R2、R3中通常将||x||记作|x|22221||||nxxxx),()()()(||||2222211yxyxnnyxyxyx显然设x(x1x2xn)a(a1a2an)Rn如果||xa||0则称变元x在Rn中趋于固定元a记作xa显然xax1a1x2a2xnanRn中变元的极限平面点集中各种概念的推广平面点集的一系列概念可以方便地引入到n(n3)维空间中来例如设aRn是某一正数则n维空间内的点集U(a){x|xRn(xa)}就定义为Rn中点a的邻域注：二、多元函数概念二元函数的定义设D是R2的一个非空子集称映射fDR为定义在D上的二元函数通常记为zf(xy)(xy)D(或zf(P)PD)其中D称为该函数的定义域xy称为自变量z称为因变量•函数值与自变量x、y的一对值(xy)相对应的因变量z的值称为f在点(xy)处的函数值记作f(xy)即zf(xy)•值域f(D){z|zf(xy)(xy)D}函数也可以用其它符号如zz(xy)zg(xy)等把上述定义中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D映射fDR就称为定义在D上的n元函数通常记为uf(x1x2xn)(x1x2xn)D或uf(x)x(x1x2xn)D或uf(P)P(x1x2xn)D二、多元函数概念二元函数的定义设D是R2的一个非空子集称映射fDR为定义在D上的二元函数通常记为zf(xy)(xy)D(或zf(P)PD)其中D称为该函数的定义域xy称为自变量z称为因变量n元函数在一般地讨论用算式表达的多元函数uf(x)时以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域对这类函数它的定义域不再特别标出多元函数的定义域函数zln(xy)的定义域为{(xy)|xy0}函数zarcsin(x2y2)的定义域为{(xy)|x2y21}举例222222yxazyxaz和zaxbyc二元函数的图形点集{(xyz)|zf(xy)(xy)D}称为二元函数zf(xy)的图形二元函数的图形是一张曲面zaxbyc表示一张平面举例方程x2y2z2a2确定两个二元函数分别表示上半球面和下半球面其定义域均为D{(xy)|x2y2a2}三、多元函数的极限二重极限的定义设二元函数f(P)f(xy)的定义域为DP0(x0y0)是D的聚点如果存在常数A对于任意给定的正数e总存在正数使得当),(),(0PUDyxP时都有|f(P)A||f(xy)A|e成立则称常数A为函数f(xy)当(xy)(x0y0)时的极限记为Ayxfyxyx),(lim),(),(00或f(xy)A((xy)(x0y0))APfPP)(lim0或f(P)A(PP0)也记作注上述定义的极限也称为二重极限二重极限概念可以推广到多元函数的极限三、多元函数的极限二重极限的定义设二元函数f(P)f(xy)的定义域为DP0(x0y0)是D的聚点如果存在常数A对于任意给定的正数e总存在正数使得当),(),(0PUDyxP时都有|f(P)A||f(xy)A|e成立则称常数A为函数f(xy)当(xy)(x0y0)时的极限记为Ayxfyxyx),(lim),(),(00或f(xy)A((xy)(x0y0))APfPP)(lim0或f(P)A(PP0)也记作证明因为例1例4设22221sin)(),(yxyxyxf求证0),(lim)0,0(),(yxfyx222222|01sin)(||0),(|yxyxyxyxf可见e0取e则当22)0()0(0yx即),(),(OUDyxP时总有|f(xy)0|e所以0),(lim)0,0(),(yxfyx必须注意(1)二重极限存在是指P以任何方式趋于P0时函数都无限接近于A(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时函数趋于不同的值则函数的极限不存在•讨论函数000),(222222yxyxyxxyyxf在点(00)有无极限？多元函数的极限运算法则与一元函数的情况类似解例2例5求xxyyx)sin(lim)2,0(),(yxyxyxxyyxyx)sin(lim)sin(lim)2,0(),()2,0(),(221lim)sin(lim)2,0(),()2,0(),(yxyxyyxyxyxyxyxxyyxyx)sin(lim)sin(lim)2,0(),()2,0(),(221lim)sin(lim)2,0(),()2,0(),(yxyxyyxyx),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx四、多元函数的连续性二元函数连续性定义二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去设二元函数f(P)f(xy)的定义域为DP0(x0y0)为D的聚点且P0D如果则称函数f(xy)在点P0(x0y0)连续如果函数f(xy)在D的每一点都连续那么就称函数f(xy)在D上连续或者称f(xy)是D上的连续函数不连续的情形：无定义不存在存在，但不为)()(0Mf)()(lim0MfMM)()(lim0MfMM)(0Mf所以f(xy)sinx在点P0(x0y0)连续由P0的任意性知sinx作为xy的二元函数在R2上连续例3设f(x,y)sinx证明f(xy)是R2上的连续函数证对于任意的P0(x0y0)R2因为类似的讨论可知一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时它们在各自的定义域内都是连续的),(sinsinlim),(lim000),(),(),(),(0000yxfxxyxfyxyxyxyx有洞曲面有缝曲面设函数f(xy)的定义域为DP0(x0y0)是D的聚点如果函数f(xy)在点P0不连续则称P0为函数f(xy)的间断点函数的间断点间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点函数000),(222222yxyxyxxyyxf的间断点为O(00)函数11sin22yxz的间断点为曲线x2y21上的点间断点举例提示多元连续函数的和、差、积仍为连续函数连续函数的商在分母不为零处仍连续多元连续函数的复合函数也是连续函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的多元初等函数的连续性多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的提示定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域根据连续性求极限如果f(P)是初等函数且P0是f(P)的定义域的内点则)()(lim00PfPfPP例7求xyyxyx)2,1(),(lim例4解函数xyyxyxf),