《函数的单调性与最大(小)值》教学设计(第一课时)完美版

《函数的单调性与最大（小）值》教学设计（第1课时）一．教材地位分析《单调性与最大（小）值（1）》系新课标实验教材必修Ⅰ第一章第三节内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的奇偶性。它是在学习了函数的基础上进一步研究函数必不可少的一部分内容。二．教学目标设计1．知识与技能：1）使学生理解函数单调性的的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。2）启发学生能够发现问题、提出问题，培养学生分析问题、认识问题的能力和创造的解决问题的能力。3）通过观察—猜想—推理—证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。2．过程与方法：1）通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物注意的思想教育。2）探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确。3．情感态度与价值观：营造亲切、活跃的课堂气氛，实施多元化评价，激励学生，使学生尝试成功，以点燃学生的学习热情，理性认识生活中的增长、递减现象。三．教学重点和难点设计教学重点：领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念。教学难点：利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性。四．学情、教法分析及教材处理按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；同时，学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强。根据以上分析本节课教学方法以在多媒体辅助下的启发式教学为主。五．教具准备多媒体课件（Ppowerpoint）六．教学流程设计七．教学情境设计1．【情景导入】引入问题设计意图师：回顾初中阶段所学的一次函数和二次函数，并作出图象，观察大家所画的两个函数的图象有什么不同？在观察图象时，你会发现这两个函数有何特征？（变化趋势）()fxx2()fxx通过多媒体演示，使学生进一步体会到图像的直观性，有助于提高数形结合．．．．研究函数问题的意识，同时也感受到函数值随自变量变化的趋势。教师引导，学生领悟师：同学们仔细观察上述两个图象，结合自己作图的体会，第一组图象和第二组图象的变化分别有何特征？这种特征说明了什么?提示：自左向右的趋势生：交流、讨论、回答。通过提问的形式，让学生逐步深入。师：一次函数()fxx的图象自左向右是上升的．．．．．．．．，而二次函数2()fxx的图象自左向右是先下降后上升的．．．．．．．．．．．．。这说明此一次函数在给定区间上y随x的增大而增大。--单调性2．【新课探究】能由图象说出函数的单调区间（例1）通过观察具体函数图象引入直观的认识增（减）函数具体的分析一些增（减）函数利用定义证明函数单调性（例2）增（减）函数的定义巩固加深学生归纳教师总结常见的函数的单调性xyO0xyO0教师引导师：函数的图像仅从直观上给出了增函数和减函数的映像。数学更讲究逻辑上的严谨，如何用数学语言来描述“y随x的增大而增大，y随x的增大而减小”的这样自然语言呢？生：（由于第一次接触用数学语言来描述一个概念，可能无从下手）讨论。师：巡视指导，遇到学生思维切入点好的同学及时引导，同时启发举例。生：答（可能仍不能规范或回答不上来，而有预习的同学可能够表达出来！）。多煤体演示⑴设函数)(xfy的定义域是Ｉ，区间ID，Dxx21,，当21xx时，都有)()(21xfxf成立，则称)(xf在区间D上是增函数．．．。⑵设函数)(xfy的定义域是I，区间ID，Dxx21,，当21xx时，都有)()(21xfxf成立，则称)(xf在区间D上是减函数。．．．．插入多煤体演示2()fxx图象的变化⑶单调区间：函数)(xf在区间D上是增函数或减函数，我们就称函数)(xf在这个区间D具有单调性，区间D是这个函数的单调区间。提出问题师生互动设计意图师：（重新放前两个函数图像）让学生结合图像和概念，通过阅读和分析说出自己认为定义中应抓住哪些关键的词语才能透彻理解定义？教师起到从旁点拨的重用。生：分组讨论，交流自己的想法师：点拨，将定义中的重要语句、关键词如：“给定区间．．．．”“任意．．”“都有．．”提示给学生，让学生思考讨论，并注意了解学生对定义中的一些错误理解和说法并适时纠正。生：回答对“给定区间”“任意”“都有”的理解，此时必然会引起持不同见解的同学的质疑，教师驾驭好课堂，激发学生的学习热情。正确地深入理解和掌握概念的重要一环3．【讲解例1】问题设计意图师：根据单调性的定义和刚才的总结，你能说出几个单调函数的例子吗？生：举例（可能有错误说法，教师适时纠正）。师：下面结合具体例子来加深对单调性定义的理解。例1图1.3-4是定义在区间]5,5[上的函数)(xfy，根据图象说出函数的单调区间，以及在相应区间上，它是增函数还是减函数？（先让学生回答，教师指正）答：函数)(xfy的单调区间有)2,5[，)1,2[，)3,1[，]5,3[。其中)(xfy在区间)2,5[，)3,1[上是减函数，也是单调减区间，函数)(xfy在区间)1,2[，]5,3[上是增函数。也是单调增区间。根据函数图象判断函数的单调性或求单调区间是一种常用的方法。它体现了数形结合的数学思想。4．【知识迁移】练习学生板演作出如下函数的图象，并指出函数在相应区间上的单调性及单调区间。①12xy②222xxy③xy1①由图象知，12xy在R上为增函数。②由图象知，222xxy在]1,(上为减函数，在),1(上为增函数。③由图象知，xy1在)0,(和),0(上分别．．为减函数。师生互动设计意图52135x0yxyO012xyxyO0–1222xxy1)1(2xxyO0xy1师：能否根据①②两道题的解决推广一下一次函数和二次函数单调性情况。生：回答。师：结合③的图象，能否说xy1在),0()0,(上为减函数呢？生：不能，单调性定义中21,xx是单调区间上任意．．两值，当2,421xx时，21xx，显然)()(21xfxf，而不是)()(21xfxf，所以不符合单调性定义。通过问题的形式，使学生更进一步加深对单调性的理解，同时有可以对函数一个全新的认识。师：归结几位同学的回答并用多媒体展示。⑴函数的单调性是对定义域内的某个区间而言，有的函数如一次函数12xy的整个定义域上单调，而有的函数分别在定义域的某个区间上单调，如二次函数222xxy，因此函数)(xf在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势．．．．，是函数的局部．．性质。⑵函数定义中的21xx、必须深刻理解，一是任意性，即任意取21xx、，任意两字决不能丢掉，不能为某特殊值。二是21xx、有大小，通常规定21xx。三是同属于同一单调区间。⑶函数的单调性反映了函数值在定义域内的某个区间上随自变量取值的增大而变化的趋势，增大或减小从图象上表现为图象自左向右上升或下降。教师归纳便于学生笔记，并理解。5．【讲解例2】引导例题分析题意设计意图例2物理学中的玻意耳定律VkP（k为正常数）告诉我们对于一定量的气体，V减小时，压强P将增大。试用函数单调性证明之。上面实际上用自然语言叙述了函数VkP的单调性，从函数图象角度观察易知0V时函数为减函数，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象时，根据单调性定义严格判断才是研究单调性的基本途径。使学生明确用定义证明的必要性，以及证明的规范性。学生思考，教师演示证明过程归纳用定义证明的步骤证明：设),0(21VV、上的任意两个实数,且21VV，则21122121)()(VVVVkVkVkVPVP由),0(21VV、得021VV由21VV得012VV又0k于是0)()(21VPVP即)()(21VPVP所以VkP,),0(V是减函数，也就是说当体积V减少时压强P增大。证明函数单调性的步骤：第一步：取值．．Dxx21,，且21xx。第二步：作差变形．．．．。通过因式分解、配方、有理化等手段将等式)()(21xfxf的右边变形。第三步：定号．．。判断)()(21xfxf的符号。第四步：下结论．．．。师：请根据如上步骤，完成上题。生：解答，一名同学板演师：纠正步骤中不规范之处，强调每一步的意义所在。使学生形成正确的解题步骤。教师点评师：上面解题步骤中，关键是)()(21VPVP式子的变形说明0)()(21VPVP，这一步必不可少，如果直接说0)()(21VPVP就缺乏严格的逻辑了。6．【知识巩固】练习与思考练习1：作出函数xy1)0(x的图象。并判断它的单调性?证明你的结论.证明：设),0(,21xx上的任意两个实数,且21xx，则2112212111)()(xxxxxxxfxf由21xx,得012xx由),0(,21xx,得021xx于是0)()(21xfxf即)()(21xfxf函数xy1在区间),0(是减函数练习2：P36练习第4题：证明函数12)(xxf在R上是减函数。证明：设Rxx21,上的任意两个实数,且21xx则)(2)12()12()()(122121xxxxxfxf由21xx,得012xx于是0)()(21xfxf即)()(21xfxf所以，函数12)(xxf在R上是减函数教师点评设计意图一般方法：先指出它的单调性；再用定义证明你的结论，并进一步强调不能简单说，当21xx时，)()(21xfxf符号怎样，必须有充分．．理由。（很重要）使学生明确证明中每一步的依据是什么?应不应该少?它的意义是什么?这样的步骤才规范.7．【课堂小结】（通过提问的形式，让学生总结）教师提问学生思考①增(减)函数的图象有什么特点?如何根据图象指出单调区间?②怎样用定义证明函数的单调性?(师生共同讨论、交流、总结)③单调性的证明及步骤中的“作差变形”．．．．．这一步的目的是什么？要得到什么？要判断两个值的大小除了作差还有别的方法吗？（有时作商与1比较）本课学习的主要内容（多媒体投放）①增函数、减函数、单调函数的概念；②对定义中关键词的理解；(给定区间．．．．任意．．都有．．)③利用图象求函数的单调区间和判断单调性；④单调性的证明及步骤。(取值．．作差变形．．．．定号．．下结论．．．)数学思想与方法①学会用数学概念进行判断推理的能力，培养数形结合辩证思维能力。②养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。布置作业课内：P43习题1.3A组1，2八．情景设计说明1．注重创设问题情景，通过学生观察，提出问题并建立数学模型解决问题，让学生了解数学的实际应用。2．注重学生的探究、思考，教师的引导，充分以学生为主体，以教师为主导的原则。3．注重讲练结合，通过练习渗透数形结合的思想，并在练习中将知识得到巩固。九．板书设计说明1．3．1单调性与最大（小）值增函数：减函数：单调性与单调区间：注意点：例1例2学生板演练习学生板演风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且，还有诗和远方的田野。你赤手空拳来到人世间，为了心中的那片海不顾一切。运动太多和太少，同样的损伤体力；饮食过多与过少，同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康。秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月极美，在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪。你必汗流满面才得糊口，直到你归了土；因为你是从土而出的。你本是尘土，仍要归于尘土。我始终相信，开始在内心生活得更严肃的人，也会在外表上开始生活得更朴素。在一个奢华浪费的年代，我希望能向世界表明，人类真正需要的的东西是非常之微少的。世界上的事情，最忌讳的就是个十全十美，你看那天上的月亮，一旦圆满了，马上就要亏厌；树上的果子，一旦熟透了，