第五章电容元件与电感元件

上海第二工业大学冯涛编写上海第二工业大学冯涛编写电路分析基础第五章电容元件与电感元件上海第二工业大学冯涛编写上海第二工业大学冯涛编写14:46:312第二篇动态电路的时域分析（第5－7章）在第一篇（第一章~第四章）中，介绍了电路分析的基本定律、定理和分析方法。在第一篇明确了，电阻电路各元件的伏安关系（VCR）均为代数关系，通常将这类元件称为静态元件。而把由静态元件组成的电路称为静态电路，描述静态电路的是一组代数方程。但实际电路中，除了静态元件外，还存在另一类元件。如：电容（capacitor）、电感（inductor）这些元件的电流电压关系（VCR）为微分或积分关系，故称其为动态元件。把至少含有一个动态元件的电路称为动态电路。描述动态电路的方程是以电流或电压为变量的微分方程。上海第二工业大学冯涛编写14:46:313若动态电路在线性非时变的条件下，其描述方程是线性常微分方程。注意复习高等数学微分方程求解部分！！！本篇将会看到，动态电路与电阻电路完全不同，在任一时刻的响应不仅与当前激励有关，还与激励的全部过去历史有关。这就是说，动态电路是有记忆的。并且，任何一个集总电路不是电阻电路就是动态电路。在动态电路中：含有一个独立动态元件的电路称为一阶电路。此时，电路方程为一阶常系数微分方程。含有二个独立动态元件的电路称为二阶电路。它的电路方程为二阶常系数微分方程。含有三个及以上独立动态元件的电路称为高阶电路。其电路方程为高阶常系数微分方程。上海第二工业大学冯涛编写14:46:314第五章电容元件与电感元件5.1电容元件5.2电容元件的伏安关系5.3电容电压的连续性质和记忆性质5.4电容元件的储能5.5电感元件5.6电感元件的VAR5.7电容与电感的对偶性以及状态变量上海第二工业大学冯涛编写14:46:3155.1电容元件1、电容元件概念：任何两个彼此绝缘又相互靠近的导体就可构成一个电容器。通电有等量异性电荷电压电场电容器是一种能存储电荷的器件，断电后电荷仍保留，因此贮存电场能量。上海第二工业大学冯涛编写14:46:3162、电容元件定义：（电容器的理想化模型）能够在q－u平面内用一条曲线（称为库伏特性曲线）描述的二端元件称为电容元件，即电荷q和电压u存在代数关系。若该曲线是过原点的直线，则称为线性电容元件，否则就是非线性电容元件，如：变容二极管就是一种非线性电容，其电容随所加电压而变。若约束电容元件的q-u平面上的曲线不随时间变化，则称为时不变电容，否则称为时变电容。uqC理想电容元件应该只具有存储电荷从而建立电场的作用，而没有其他任何作用。上海第二工业大学冯涛编写14:46:3173、电容元件特点线性电容有如下特点：（1）双向性：库伏特性是以原点对称，因此与端钮接法无关。（2）动态性：若电容两端的电压是直流电压U，则极板上的电荷是稳定的，没有电流通过电容，即：I=0。电容相当于断路（开路），所以电容有隔断直流作用；若电容两端的电压u(t)是变化的，则极板上的电荷会随之变化，形成电流i(t)≠0。电容相当于导通，所以电容对于交流是导通的。电容电流取决于该时刻两端电压的变化率，而与该时刻的电压值无关，这反映了电容的动态性。（3）记忆性：电容电压具有记忆电容电流的性质。（4）储能性：当电容两端外加电源，两极上会聚集等量的正、负电荷，两极间建立电场。电容是无源元件，却是储能元件。上海第二工业大学冯涛编写14:46:3184、定义式)t(Cu)t(q注：电容元件简称为电容，其符号C既表示元件的参数，也表示电容元件。5、符号及单位C＋－uc(t)ic(t)单位：法拉（F），1F=106F=109nF=1012pFC称为电容元件的电容量。电容元件的符号及其标示的关联参考方向如图所示，即在假定为正电位的极板上的电荷也假定为正。上海第二工业大学冯涛编写14:46:329常用电容器的电容量大约为零点几皮法至数千微法，而采用碳纳米管可制作超大电容量的电容器，达数百法，这在传统概念上是不可思议的！实际电容器除具有存储电荷的主要性质外，还有一些漏电现象，这主要是由于介质不理想，多少有点导电能力的缘故。一个电容器，除了标明它的容量外，还需标明它的额定工作电压。电容器两端电压越高，聚集的电荷就越多。但介质的耐压是有限度的，电压过高，介质会被击穿。而电容被击穿后，介质导电，也就丧失了电容器的作用。因此，使用中不应超过其额定工作电压。上海第二工业大学冯涛编写14:46:3210电容器种类繁多，包括：聚酯（涤纶）电容、云母电容、空气电容、瓷介电容、（铝）电解电容、（钽）电解电容等。（1）典型电容器：电解电容器。注意：有些电容器是单向的：如电解电容器等，安装时不能接反。电解电容器最基本的结构是有极性的。这由生产工艺决定了。电解电容容易用较少的材料和较小的体积实现大容量。但是由于有极性，只能在带有一定直流分量应用，不宜用于纯交流，并且电解电容的极性要顺应直流分量的方向，不能反接使用。（2）电容效应电容器是为了获得一定大小的电容特意制成的。但是，电容的效应在许多场合是存在的，几乎是无处不在，常称为寄生电容、杂散电容和分布电容等。理论上，电位不相等的导体之间就会有电场，因此就有电荷聚集并有电场能量，即有电容效应存在。例如：元件的管脚之间、连线。上海第二工业大学冯涛编写14:46:32115.2电容元件的伏安关系若电容端电压u与通过的电流i采用关联参考方向。以u表示I，它从电荷变化的角度描述了电容的VCR。如右图所示，则有：C＋－uc(t)ic(t)dttduCtidttduCdttCudtitutqCdttdqticcccccc)()(非关联时,)())(()()()(,)()()1(上式表明：某一时刻电容的电流取决于该时刻电容电压的变化率。如果电压不变，du/dt为零，这时虽有电压，但电流为零。因此，电容具有隔直流的作用。电容电压变化越快，即du/dt越大，则电流越大，故电容具有通交流的作用。上海第二工业大学冯涛编写14:46:3212因此有：如电容电压不变，则电流为零，相当于开路，此为电容的隔直流效应。如电容电压变化，则电流不为零，电压变化越快，电流就越大。电容两端的电压不能跃变——连续性。dttduCtidttduCticccc)()(非关联时,)()(关联时C＋－uc(t)ic(t)tccdiCtu)(1)(（2）积分形式（变量分离）dttiCtducc)(1)(对上式从-∞到t进行积分，并设uc(-∞)=0，得：上海第二工业大学冯涛编写14:46:3213如果设t0为初始时刻，而且如果只需了解t≥t0的情况，上式可改写为：diCtudiCdiCtuttccttctcc000)(1)()(1)(1)(00－0)()(1＝)(tccdiCtu其中，uc(t0)称为电容电压的初始值，体现了t0时刻以前电流对电压的贡献。由此可见，在某一时刻t电容电压的数值并不仅仅取决于该时刻的电流值，还取决于从-∞到t所有时刻的电流值，也就是说与电流全部过去历史有关。描述一个电容元件必须有两个值：C值和uc(t0)值。上海第二工业大学冯涛编写14:46:3214从0ms到0.25ms期间，电压u从0V线性变化到100V，其变化了100V，时间变化了0.25ms，所以变化率为：sVsVdtdu/104/1025.010053微分（指的是斜率或变化量）dttduCticc)()(从0.25ms到0.75ms期间，电压u从100V线性变化到-100V，其变化了200V，时间变化了0.5ms，所以变化率为：sVsVdtdu/104/105.020053kydxdy;bkxy若C=1uF=10-6F，u(0)=0上海第二工业大学冯涛编写14:46:3215积分（指的是面积）若C=1uF=10-6F，u(0)=0且与前例不是同例VVmsmstVVmstVtCVtCdiCu125125)0u()25.0u(:时25.0但是当1251025.02000100)25.0~u(:时25.00当20001020001)(1)25.0~(6261025.0021025.0225.033VmstttCdiCu0)75.0~.250u(:时75.025.0当)20002(1)(1)75.0~25.0(33331075.01025.021075.01025.0232000400040001025011ttdtdt)t(it.)t(id)(iC)t(ucctccVVumst1250)25.0(u(0.75):需要考虑初始值,时75.0但是当上海第二工业大学冯涛编写14:46:3216解：已知电压源电压u(t)，其电流可通过i(t)=Cdu/dt求出。(a)(b)从0.25ms到0.75ms期间，电压u从+100V线性下降到-100V，其变化率为：sVsVdtdu/104/105.020053)()()(titutWC例：电容与电压源相接如图(a)所示，电压源电压随时间按三角波方式变化如图(b)所示。求电容电流。上海第二工业大学冯涛编写14:46:3317AAdtduCi4.01041056sVsVdtdu/104/105.020053故知在此期间，电流为：从0.75ms到1.25ms期间，AAdtduCi4.01041056故知在此期间，电流为：因此得电流随时间变化的曲线如上图所示。与电阻元件不同：电容两端电压与流过电流波形不一致。上海第二工业大学冯涛编写14:46:3318000)(1)()(ttdiCtututt解：已知电容电流求电容电压，可根据下式：为此，需要给出i(t)的函数式。对所示三角波，可分段写为：例：如图(a)所示为电容与电流源相接电路，电流波形如图(b)所示。求电容电压（设u(0)=0）。上海第二工业大学冯涛编写14:46:3319等等。分段计算u(t)如下：上海第二工业大学冯涛编写14:46:3320上海第二工业大学冯涛编写14:46:3321电压波形如图(C)所示。上海第二工业大学冯涛编写14:46:33222500u/Vt/ms0.511.5150再次证明与电阻元件不同：电容两端电压与流过电流波形不一致。1-10i/At/ms0.511.5上海第二工业大学冯涛编写14:46:33235.3电容电压的连续性质和记忆性质电容的VCR(VAR)为：000)(1)()(ttdiCtututtCC通过该式即可反映出电容电压的两个重要性质，即连续性和记忆性。连续性可通过下图予以说明。上海第二工业大学冯涛编写14:46:3324上式说明：“电容电压不能跃变”。当然，这种性质仅在电容电流为有界时成立。dttduCticc)()(电容的连续性可表述如下：若电容电流i(t)在闭区间[ta、tb]内有界（不是无穷大），则电容电压uC(t)在开区间(ta、tb)内连续。特别是，对任何时刻t，且tattb,则有：uC(t)=uC(t+)=uC(t-)000)(1)()(ttdiCtututtCC上海第二工业大学冯涛编写14:46:3325tccdiCtu)(1)(它表明，在任一时刻t，电容电压uc是此时刻以前的电流作用的结果，即电压“记载”了已往电流的全部历史，电流是可以突变的，所以称电容为记忆元件。当然，电阻则为无记忆元件。电容电压的另一性质是记忆性质，体现如下：diCtudiCdiCtuttccttctcc000)(1)()(1)(1)(0所以，只要知道了电容的初始电压和t≥t0时作用于电容的电流，就能确定t≥t0时的电容电压。上海第二工业大学冯涛编写14:46:3326上述关系可用等效电路加以说明010100)()()