反证法典型例题

韩城·象中·毋宁选修1-2：第三章推理与证明2例1.已知：一个整数的平方能被2整除，求证：这个数是偶数。证明：设整数a的平方能被2整除.假设a不是偶数，则a是奇数，不妨设a=2m+1(m是整数)∴a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1∴a2是奇数，与已知矛盾。∴假设不成立，所以a是偶数。3ab证：假设ab不成立，则a≤b若a=b，则a=b,与已知ab矛盾,若ab，则ab,与已知ab矛盾,故假设不成立，结论ab成立。例2.证明：如果ab0，那么4证：假设方程ax+b=0(a≠0)至少存在两个根，1212不妨设其中的两根分别为x，x且x≠x12则ax=b，ax=b12∴ax=ax12∴ax-ax=012∴a（x-x）=01212∵x≠x，x-x≠0∴a=0与已知a≠0矛盾,故假设不成立，结论成立。例3.已知a≠0，求证关于x的方程ax=b有且只有一个根。5P已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且AB、CD不全是直径求证：AB、CD不能互相平分。ABCDO例4.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.62证：假设2是有理数，m则存在互质的整数m，n使得2=，n∴m=2n22∴m=2n2∴m是偶数，从而m必是偶数，故设m=2k（k∈N）2222从而有4k=2n，即n=2k2∴n也是偶数，这与m，n互质矛盾！所以假设不成立，2是有理数成立。例5.求证：是无理数.7(4)结论为“唯一”类的命题。正难则反!应用反证法的情形：(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论；(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”这一类的命题；8例6.已知a+b+c0,ab+bc+ca0,abc0.求证:a,b,c0证明:假设c0,则a+b0,ab0.所以,a,b,c0.ab+bc+ca=ab+(a+b)c0.矛盾!假设不成立.9例7.已知0a,b,c1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同时大于1/4.证明:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同时大于1/4.则1-+1(1-)-0(1),22ababba1-+1(1-)-0(2),22bcbccb1-+1(1-)-0(3).22cacaac(1)+(2)+(3)得:00,矛盾!假设不成立.所以,(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同时大于1/4.10例7.已知0a,b,c1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同时大于1/4.证明:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同时大于1/4.则11(1)(1),44abab11(1)(2),44bcbc11(1)(3).44caca(1)+(2)+(3)得:1113()()()3444abcabc矛盾!假设不成立.原结论成立.11例8.已知:f(x)=x2+px+q.求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于½.解：假设|(1)|,|(2)|,|(3)|fff都小于21.由题意,(1)1,(2)42,(3)93fpqfpqfpq有(1)2(2)(3)2fff所以2=|(1)2(2)(3)|fff≤|(1)|2|(2)||(3)|fff21+2×21+21=2，矛盾!假设不成立,原结论成立。12例9.已知A,B,C为三个正角.且sin2A+sin2B+sin2C=1.求证:A+B+C900.解:假设A+B+C≥900,由于A,B,C为三个正角,所以它们都为锐角,且有cos(A+B)cos(A-B).1=sin2A+sin2B+sin2C=1-cos(A+B)cos(A-B)1-cos2(A-B)≤1.矛盾!假设不成立.从而,A+B+C900.13推理合情推理演绎推理（归纳、类比）（三段论）证明直接证明间接证明（分析法、综合法）（反证法）数学—公理化思想