高考一轮复习-基本不等式

2abab【2014年高考会这样考】考查基本不等式(a，b0)的简单应用，主要是不等式比较大小、求最值、求取值范围等．第4讲基本不等式抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练基本不等式：≤基本不等式的变形利用基本不等式求最值考向一考向二考向三助学微博考点自测A级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】基本不等式的实际应用利用基本不等式求最值利用基本不等式证明不等式选择题填空题解答题123、、、B级选择题填空题解答题123、、、巧用不等式求最值问题单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲2abab考点梳理1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：____________.(2)等号成立的条件：当且仅当__________时取等号．(3)其中a＋b2称为正数a，b的___________,ab称为正数a,b的___________.2．基本不等式的变形(1)重要不等式：a2＋b2≥_______(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤a＋b22，(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)a＋1a≥____(a0)，当且仅当a＝1时取等号．a＋1a≤_____(a0)，当且仅当a＝－1时取等号．(4)ba＋ab≥______(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．a0，b0a＝b算术平均数几何平均数2ab2-22考点梳理3．利用基本不等式求最值已知x＞0，y＞0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当______时，x＋y有最___值是_______.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当______时，xy有最___值是_____.(简记：和定积最大)x=y小x=y大2ps24(1)创设运用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式，其目的在于使等号能够成立．(2)既要记住基本不等式的原始形式，而且还要掌握它的变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤a＋b22≤a2＋b22，ab≤a＋b2≤a2＋b22(a0，b0)．两个技巧助学微博(1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．(2)多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能够保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．两点提醒1．(2013·株洲联考)“a0且b0”是“a＋b2≥ab”成立的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是()．A．a2＋b2B．2abC．2abD．a＋b3．若lgx＋lgy＝2，则1x＋1y的最小值是()．A.120B.15C.12D．24．(2012·福建)下列不等式一定成立的是()．A．lg(x2＋14)＞lgx(x＞0)B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋1＞1(x∈R)5．若x－3，则x＋4x＋3的最小值为________．考点自测单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解ADBC123451【例1】►(1)已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．(2)若函数f(x)＝x＋1x－2(x2)在x＝a处取最小值，则a＝________.【审题视点】解(1)考向一利用基本不等式求最值(1)直接利用基本不等式求解；【方法锦囊】(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．(2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．(3)若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解．因为1＝x3＋y4≥2x3·y4(2)先变形再利用基本不等式．＝2xy12＝xy3，所以xy≤3，当且仅当x3＝y4，即x＝32，y＝2时取等号，故xy的最大值为3.(2)当x2时，x－20，f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2≥2x－2×1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2(x2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.答案(1)C(2)9【训练1】(2013·福州模拟)已知f(x)＝x＋1x－2(x0)，则f(x)有()．A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为－4D.最小值为－4(2)已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则1＋1a1＋1b的最小值为________．解(1)∵x0，∴－x0，∴x＋1x－2＝－－x＋1－x－2≤－2－x·1－x－2＝－4，当且仅当－x＝－1x，即x＝－1时等号成立．(2)1＋1a1＋1b＝1＋a＋ba1＋a＋bb＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝12时，取等号．如果不对，错在哪儿？最小值是）这样做对吗？（,882441212)11)(11(2baabbaba考向一利用基本不等式求最值考向二利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.正明∵a＞0，b＞0，c＞0，∴bca＋cab≥2bca·cab＝2c；【审题视点】先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到．利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．【方法锦囊】bca＋abc≥2bca·abc＝2b；cab＋abc≥2cab·abc＝2a.以上三式相加得：2bca＋cab＋abc≥2(a＋b＋c)，即bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.【训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：1a＋1b＋1c≥9.证明∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，【审题视点】先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到．利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．【方法锦囊】考向二利用基本不等式证明不等式∴1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号(2)通过二次不等式的求解来确定对应的横坐标的取值范围．【例3】►(2012·江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解(1)令y＝0，得kx－120(1＋k2)x2＝0，【审题视点】(1)令y＝0，解得x＝20k1＋k2，通过变形利用基本不等式确定其最大值；【方法锦囊】(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．由实际意义和题设条件知x0，k0，故x＝20k1＋k2＝20k＋1k≤202＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a0，所以炮弹可击中目标⇔存在k0，使3.2＝ka－120(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6千米时，可击中目标．考向三基本不等式的实际应用【训练3】为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x＝4－k2t＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解(1)由题意有1＝4－k1，得k＝3，故x＝4－32t＋1∴y＝1.5×6＋12xx×x－(6＋12x)－t＝3＋6x－t＝3＋64－32t＋1－t＝27－182t＋1－t(t≥0)．(2)由(1)知：y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋t＋12≤27.5-29t＋12·t＋12＝21.5当且仅当9t＋12＝t＋12，即t＝2.5时等号成立，y有最大值21.5.所以2013年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元.考向三基本不等式的实际应用热点突破16——巧用不等式求最值问题揭秘3年高考【命题研究】通过近三年的高考试题分析，对利用基本不等式求最值的考查，题型多以选择题、填空题的形式出现，且常与函数、指数、对数等知识结合在一起考查，有时也出现在解答题中，如在数列、解析几何中求最值也常用到基本不等式．揭秘3年高考【真题探究】►(2012·浙江卷)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()．A.245B.285C．5D．6【教你审题】第1步：把已知条件变形，构造出常数；第2步：利用常数的代换与所求式子相乘；第3步：利用基本不等式求最值．[解法]由x＋3y＝5xy可得15y＋35x＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)15y＋35x＝95＋45＋3x5y＋12y5x≥135＋125＝5(当且仅当3x5y＝12y5x时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.[反思]利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用均值不等式求解最值．在利用均值不等式求解最值时，要尽量避免多次利用其求最值，否则就必须检验各个等号成立的条件是否一致．【试一试】函数f(x)＝xx2＋2013x＋4(x0)的最大值为________．揭秘3年高考解f(x)＝xx2＋2013x＋4＝1x＋4x＋2013因为x0，由基本不等式，可得x＋4x≥4(当且仅当x＝4x，即x＝2时等号成立)．故x＋4x＋2013≥2017，所以函数f(x)的最大值为12017.答案12017解析∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立．答案A一、选择题题号点击题号出答案单击详解1234AAAB1．(2013·宁波模拟)若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()．A.12B．1C．2D．42．函数y＝x2＋2x－1(x1)的最小值是()．A．23＋2B．23－2A级基础演练解析∵x1，∴x－10，∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.答案A3．(2012·陕西)小王从甲地到乙地的时速分