线性代数课件-2.1矩阵的概念----2.2矩阵的运算

第二章矩阵•§2·1矩阵的概念•§2·2矩阵的运算•§2·3几种特殊的矩阵•§2·4分块矩阵•§2·5逆矩阵•§2·6矩阵的初等变换§2·1矩阵的概念),3,2,1;,3,2,1(njmiaij排成的一个m行n列的数表由m×n个数mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为一个m行n列矩阵，简称为m×n矩阵。ija矩阵的第i行j列元素定义2·1例如3021221012×4矩阵54331302113×3矩阵矩阵常用的记号：•大写英文字母A、B、C、…A2×4=(aij)3×3=•(aij)•Am×n•(aij)m×n•特别地：当m=n时，nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211当m=1时，naaaA11211称为n阶方阵称为行矩阵当n=1时，12111maaaA称为列矩阵当m=n=1时，11aA可视为普通数来处理11a•当0ija时000000000A记为或OnmO•对n阶方阵A=(aij),jiaaijii0,1若即100010001A称为单位矩阵，称为零矩阵，记为或EnE•对矩阵A=(aij)，称(-aij)为矩阵A的负矩阵，记为-A即mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211•矩阵概念与行列式概念的区别：nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111.一个行列式代表一个数mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211一个矩阵代表一个数据表格例如6300220111而300220111表示一个数表2、二者记号不同：行列式用，矩阵用（）。3、行列式的行数和列数必须相同，而矩阵的行数与列数可以不同。【例1】某种物资有三个产地，四个销地,调配方案如下表：产地销地一销地二销地三销地四销地五产地一33226产地二52164产地三43410产地四10142销地数量（吨）把表中数据按原来次序抽出来作一个矩阵2410101434461256223354C供销矩阵【例】对m×n线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111把方程组中系数及常数项按原来次序取出，作一个矩阵ijaibmmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211m×(n+1)增广矩阵A（*）则线性方程组（*）与A之间的关系是1-1对应的=•把未知量的系数按原来次序拿出来作一个矩阵mnmmnnaaaaaaaaa212222111211m×n=A系数矩阵•把常数列按原来次序拿出来作一个矩阵mbbb21m×1=B常数矩阵•把未知量拿出来作一个矩阵n×1=X未知量矩阵nxxx21§2·2矩阵的运算定义2·2若两个有相同行数和相同列数的矩阵nmijaAnmijbB满足),,2,1;,,2,1(njmibaijij则称矩阵A与矩阵B相等。记为A=B例如：若dcBbaA011321且A=B则有c=0;a=-1;b=2;d=3一、矩阵的加法定义2·3由矩阵A=(aij)m×n与B=(bij)m×n的各对应元素相加而得到的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和。记为A+B即mnmmnnmnmmnnbbbbbbbbbaaaaaaaaaBA212222111211212222111211mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111•例如212111320112BA则532201BA加法的性质：（1）A+B=B+A（2）(A+B)+C=A+(B+C)（3）A+O=A（4）A+(-A)=O简记为：)()()(ijijijijbabaBA证（2）(A+B)+C=A+(B+C)因为(A+B)+C=[(aij)+(bij)]+(cij)=(aij+bij)+(cij)=(aij)+(bij+cij)=A+(B+C)=(aij+bij+cij)=(aij+bij+cij)•矩阵的减法：BA•例如212111320112BA则112023BA)(BA)()(ijijba)(ijijba二、数与矩阵的乘法（简称数乘）定义2·4由常数k乘以矩阵Am×n的每个元素而得到的矩阵，称为数k与矩阵A的乘积，简称数乘。记为kA.kA即例如112023A则2240462Amnmmnnkakakakakakakakaka212222111211ijka•数乘的性质：设A、B、O均为m×n矩阵，k、t为常数则（1）k(A+B)=kA+kB(2)(k+t)A=kA+tA(3)(kt)A=k(tA)=t(kA)(4)1A=A(5)0A=O(6)若k≠0,A≠O,则kA≠O证(2)(k+t)A=kA+tAmnmmnnaaaaaaaaatkAtk212222111211)(mnmmnnatkatkatkatkatkatkatkatkatk)()()()()()()()()(212222111211mnmnmmmmnnnntakatakatakatakatakatakatakatakataka221122222221211112121111mnmmnnmnmmnntatatatatatatatatakakakakakakakakaka212222111211212222111211tAkA【例2】求矩阵X，使3A+2X=3B。其中103421,321021BA解：由3A+2X=3B解得2X=3B-3A即)(23ABX所以32102110342123X22240223333603三、矩阵的乘法【例(补)】某单位计划在2004年与2005年两年内建造三种类型的房屋，建造每种类型房屋的数量如表2-1所示，每100㎡房屋各种材料的耗用量如表2-2所示。试求2004年与2005年计划建造房屋所需的各种材料的耗用量。表2-1单位：100㎡年份甲乙丙2004200511a12a21a13a22a23a表2-2类型类型水泥，t钢筋，t木材，甲乙丙材料11b31b32b22b12b13b23b33b解：依题意，2004年与2005年计划建造房的各种材料耗用量为下表年份水泥，t钢筋，t木材，20042005311321121111bababa321322121211bababa331323121311bababa312321221121bababa322322221221bababa332323221321bababa23222113121132aaaaaaA33323123222113121133bbbbbbbbbB3m21b年份水泥，t钢筋，t木材，20022003311321121111bababa321322121211bababa331323121311bababa312321221121bababa322322221221bababa332323221321bababa32C311321121111bababa321322121211bababa331323121311bababa312321221121bababa322322221221bababa332323221321bababa232221131211cccccc此时11c311321121111bababa12c321322121211bababa13c331323121311bababa21c312321221121bababa22c322322221221bababa23c332323221321bababa11c311321121111bababa12c321322121211bababa13c331323121311bababa21c312321221121bababa22c322322221221bababa23c332323221321bababa23222113121132aaaaaaA33323123222113121133bbbbbbbbbB由23222113121132ccccccC得=A中第一行元素与B中第一列元素对应相乘再相加=A中第一行元素与B中第二列元素对应相乘再相加=A中第一行元素与B中第三列元素对应相乘再相加=A中第二行元素与B中第一列元素对应相乘再相加=A中第二行元素与B中第二列元素对应相乘再相加=A中第二行元素与B中第三列元素对应相乘再相加ijcjijijibababa332211A中第i行元素与B中第j列元素对应相乘再相加定义2·5设矩阵，，由元素smijaA)(nsijbB)(sjisjijiijbababac2211构成的矩阵nmijcC)(称为矩阵A与矩阵B的乘积。记为C=AB即mnmjminijinjsnsjsnjnjmsmmisiiscccccccccbbbbbbbbbaaaaaaaaa111111122211111212111211i行j列关于矩阵乘法的说明：1、只有当第一个矩阵A的列数与第二个矩阵B的行数相同时，AB才有意义.2、C的行数=第一个矩阵A的行数C的列数=第二个矩阵B的列数nmnssmCBA【例3】设321021A215402134321B求AB解AB3210212154021343212×4501-4-5-114-2注：此题BA无意义因为3243AB○○【例】设,21naaaAnbbbB21,求AB解：AB=naaa21nbbb21注：此题BA有意义,但BA=nbbb21