数列的通项公式-课件ppt

求数列的通项公式1.观察法:找项与项数的关系，然后猜想检验.2.公式法:已知Sn,求an3.累加法：an+1=an+f(n)4.累乘法：an+1=an·f(n)5.构造法：an+1=pan+q求通项的方法(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)3,33,333,3333，…；(5)－1，32，－13，34，－15，36，….观察法根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（4）1，2，4，8，16，…；解：(1)an＝2n＋1.(2)an＝2n－12n.(3)an＝13(10n－1)．(5)an＝(－1)n·2＋－1nn，公式法1.当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差或公比.注意：先分n=1和n≥2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一.2.利用Sn与an的关系例1.由an与Sn的关系求通项an(1)Sn＝2n2＋3n；(2)Sn＝3n＋1.解析：(1)由题可知，当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1.检验：当n＝1时，4×1＋1＝5＝a1，故an＝4n＋1.(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，故an＝4，n＝1，2×3n－1，n≥2.小感悟：已知Sn，求an分为三步：(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝nn＋1，则1a5＝()A.56B.65C.130D．30解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nn＋1－n－1n＝1nn＋1，则a5＝15×6＝130.试一试：观察与猜想：回顾等差数列的定义，我们如何得到等差数列的通项公式。你能求1，2，4，7，11，16，……的通项公式吗？等差数列：an＋1－an＝d，（d为公差）猜想：an＋1－an＝n，即：an＋1－an＝f(n)，一般地，对于型如an＋1－an＝f(n)，类的通项公式，只要式子：f（1）+f（2）+f（3）+……f（n）能进行求和，则宜采用此方法求解。累加法例1：已知数列1，2，4，7，11，…求此数列的一个通项。2132112(1)nnaaaaaan解：，，，1(11)(1)(1)123(1)22nnnnnaan累加21(1)(1)11112222nnnnnaann变式.已知数列：求数列通项公式.112,3nnaaan1133nnnnaanaan解：)1(3231312312naaaaaann1123(1231)(11)(1)3(1)3223(1)23342nnaannnnnnnaann累加试一试：数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝()A．0B．3C．8D．11[解析]由已知得bn＝an＋1－an＝2n－8，所以a2－a1＝－6，a3－a2＝－4，…，a8－a7＝6，由累加法得：a8－a1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，所以a8＝a1＝3.[答案]B一般地，对于型如an+1=an·f(n)类的通项公式，只要f（1）*f（2）*f（3）*……*f（n）的值可以求得时，则宜采用此方法求解。累乘法例：在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝n＋2nan，求数列{an}的通项公式an.解：由a1＝2，an＋1＝n＋2nan，∴an＋1an＝n＋2n.取n＝1,2,3，…，n－1得a2a1＝31，a3a2＝42，a4a3＝53，…an－1an－2＝nn－2，anan－1＝n＋1n－1.把上述各式两边分别相乘，得a2a1·a3a2·a4a3·…·an－1an－2·anan－1＝31·42·53·…·nn－2·n＋1n－1，∴ana1＝nn＋12.∴an＝nn＋12a1，即an＝n(n＋1)．当n＝1时，a1＝2适合上式．故an＝n(n＋1)(n∈N*)．变式：已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝n＋23an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．[解](1)由S2＝43a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.由S3＝53a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝32(a1＋a2)＝6.(2)由题设知a1＝1.当n1时，有an＝Sn－Sn－1＝n＋23an－n＋13an－1，整理得an＝n＋1n－1an－1.于是a2＝31a1，a3＝42a2，…，an－1＝nn－2an－2，an＝n＋1n－1an－1.将以上n－1个等式中等号两端分别相乘，整理得an＝nn＋12.综上可知，{an}的通项公式an＝nn＋12.小感悟：对形如an＋1＝anf(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法，巧妙求出ana1与n的关系式．数列bn+1=2bn和an+1=2an+1有什么相似的地方。能否把{an}转化为等比数列求通项。对于形如“an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)”的递推公式求通项公式，可用迭代法或构造等比数列法．构造法例题：已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2；则an＝________.[解析]∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.[答案]2×3n－1－1变式．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an2an＋1，则其通项公式为________．解析：两边取倒数，得1an＋1＝2an＋1an＝2＋1an，故有1an＋1－1an＝2.故数列1an是首项为1a1＝13，公差为2的等差数列，所以1an＝13＋2(n－1)＝6n－53，故an＝36n－5.答案：36n－5小感悟：根据已知条件构造一个与an有关的新的数列，新的数列往往是等差数列或是等比数列．例如形如an＝pan－1＋q(p，q为常数)的形式，往往变为an－λ＝p(an－1－λ)，构成等比数列．求{an－λ}的通项公式，再求an.1.观察法:找项与项数的关系，然后猜想检验.2.公式法:3.累加法：an+1=an+f(n)4.累乘法：an+1=an·f(n)5.构造法：an+1=pan+q小结求通项的方法课堂训练与课后作业1.如图关于星星的图案中，第n个图案中星星的个数为an，则数列{an}的一个通项公式是()A．an＝n2－n＋1B．an＝nn－12C．an＝nn＋12D．an＝nn＋222.[2012·南开中学模拟]下列可作为数列{an}：1，2，1，2，1，2，…的一个通项公式的是()A．an＝1B．an＝（－1）n＋12C．an＝2－sinnπ2D．an＝（－1）n－1＋323.数列12，14，－58，1316，－2932，6164，…的一个通项公式是________．4[2012·漳州三校联考]已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Tn＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1，求Tn.5.(1)已知数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝1n（n－1）(n≥2)，则a16＝________．(2)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________；an＝________．6.已知数列{an}满足a1＝12，an－1－an＝anan－1n（n－1）(n≥2)，求an？