大学物理4-4-力矩的功-刚体绕定轴转动的动能定理

4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理第一节4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理力的空间累积效应：力的功、动能、动能定理．力矩的空间累积效应：力矩的功、转动动能、动能定理．4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理力的元功力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算若在某变力矩的作用下，刚体由转到，作的总功为二、力矩的功率一力矩作功4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理刚体中任一质元的速率该质元的动能∑对所有质元的动能求和∑转动惯量JJ得4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理回忆质点的动能定理刚体转动的动能定理由力矩的元功转动定律则合外力矩的功转动动能的增量称为四、刚体绕定轴转动的动能定理2020/9/176含平动的转动问题机械外力非保守内力力矩力矩动势动势平动转动平动转动系统（轮、绳、重物、地球）左例忽略摩擦外力力矩非保守内力矩力平动转动势平动转动势可求或此外势4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理例1留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率作匀速转动．放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动．设唱片的半径为R，质量为m，它与转盘间的摩擦系数为，求：(1)唱片与转盘间的摩擦力矩；(2)唱片达到角速度时需要多长时间；(3)在这段时间内，转盘的驱动力矩做了多少功？ωω4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理RlrRmgfddπd2o解(1)如图取面积元ds=drdl，该面元所受的摩擦力为此力对点o的力矩为lrrRmgfrddπd2rdrdlfd4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理于是，在宽为dr的圆环上，唱片所受的摩擦力矩为)π2(dπd2rrrRmgMRmgrrRmgM32d2R022rrRmgd222Rrdrdlfdo4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理(3)由可得在0到t的时间内，转过的角度为(2)由转动定律求，(唱片J=mR2/2)RgJM34gRt43gR832（作匀加速转动）2202驱动力矩做的功为2241mRMW由可求得t04-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理例2一长为l,质量为m的竿可绕支点O自由转动．一质量为m’、速率为v的子弹射入竿内距支点为a处，使竿的偏转角为30o.问子弹的初速率为多少?解子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒)31(22malmamvoa'mv302233mam'lamv4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理oa'mv30mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v222)31(21malm)30cos1(2olgm)30cos1(omga射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，E=常量．4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理作业第144页4-304-314-362020/9/1714第四章刚体的转动2020/9/1715一、刚体定轴转动的运动学二、力矩的瞬时作用规律----转动定律)()(ttt角位移)(t角坐标tttddlim0角速度矢量方向:右手螺旋方向P’(t+dt)z.OωxP(t)r.dterωv2rωarantn2terωera1、力矩M的概念.FrM上式中,是力的作用点相对于转轴的位矢r角加速度ttω22dddd2020/9/1716tJJMdd3、转动定理.2、转动惯量.转动惯量是表征刚体转动惯性大小的物理量,它定义为2jjjrmJmrJd2刚体的转动惯量与以下三个因素有关：iii）与转轴的位置有关．i）与刚体的体密度有关．ii）与刚体的几何形状及体密度的分布有关．平行轴定理:2mdJJCOdCOm2020/9/1717三、力矩的时间累积作用2、角动量定理.1、角动量.质点的角动量prL刚体定轴转动的角动量JLtLMdd微分形式12d21LLtMtt冲量矩tMttd21积分形式冲量矩、角动量、角动量定理．2020/9/17183、角动量守恒定律.若作用于物体的合外力矩,则角动量守恒:0M恒矢量L对质点有:恒矢量mrL对刚体有:恒矢量JL三、力矩的空间累积作用1、力矩作功.在定轴转动的情况下,若刚体受到的力矩为M,角位移为d,则M作的元功为MddW0MdW若刚体转过角,M作功为力矩的功、转动动能、动能定理．2020/9/17193、转动动能定理.2、转动动能.转动动能是刚体作定轴转动时的动能221JEKJ和分别是刚体的转动惯量和角速度21222121d21JJMW合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量2020/9/17204、刚体系统的功能原理.对于包含有刚体转动的系统,机械能守恒定律仍然成立机械外力非保守内力力矩力矩动势动势平动转动平动转动5、刚体系统的机械能定恒.外力非保守内力力矩力矩常量刚体转动动能平动动能系统势能EEE2020/9/1721（1）考试重点：质点在平面内运动及刚体绕定轴转动时的角动量守恒定律。刚体定轴转动时动能定理和机械能守恒定律的应用（2）课后P-143:1-5选择题；（3）课后布置的习题第四章补充例题第四章刚体的转动物理学第五版221一飞轮半径为0.2m、转速为150r·min-1，因受制动而均匀减速，经30s停止转动．试求：(1)角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；(2)制动开始后t=6s时飞轮的角速度；(3)t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度．第四章补充例题第四章刚体的转动物理学第五版23飞轮30s内转过的角度radπ75220220srad6πt解（1）,sradπ510ω0t=30s时，设，飞轮作匀减速运动时，t=0s转过的圈数r5.37π2π75π2N00θ第四章补充例题第四章刚体的转动物理学第五版24（2）s6t时，飞轮的角速度10sradπ4)66ππ5(αtωω（3）s6t时，飞轮边缘上一点的线速度大小2sm52π420..rωv该点的切向加速度和法向加速度2tsm1050)6π(20..ra222nsm631π)4(20..rωa第四章补充例题第四章刚体的转动物理学第五版252一质量为m、长为L的均匀细棒，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细棒与桌面的摩擦因素为,求棒转动时受到的摩擦力矩的大小．xodxx第四章补充例题第四章刚体的转动物理学第五版26解xlmmdd)d(dmgxMmgLxxlmgmgxML21dd0xodxx第四章补充例题第四章刚体的转动物理学第五版273如图：一定滑轮两端分别悬挂质量都是m的物块A和B，图中R和r，已知滑轮的转动惯量为J，求A、B两物体的加速度及滑轮的角加速度．解RaraJrFRFmamgFmaFmg21TT1T2T1212rRβ'F1T　'F2TFT1FT2mgmgAB第四章补充例题第四章刚体的转动物理学第五版28解得221)(mrmRJrRmgrra2T2mamgF222)(mrmRJrRmgRRa1T1mamgF22)(mrmRJrRmg第四章补充例题第四章刚体的转动物理学第五版295一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮质量为m，绳下端挂一物体，物体所受重力为G,滑轮的角加速度为β1，若将物体去掉而以与G相等的力直接向下拉绳子，滑轮的角加速度β2将(A)不变(B)变小(C)变大(D)无法判断Gβ1β2RR第四章补充例题第四章刚体的转动物理学第五版30解JGRJGR22　　选（C）JRFJRFT11T　　12TFG又Gβ1β2FT’GFTRR第四章补充例题第四章刚体的转动物理学第五版316轻绳一端系着质量为m的质点，另一端穿过光滑水平桌面上的小孔O用力拉着，质点原来以等速率作半径为r的圆周运动，问当拉动绳子向正下方移动到半径为r/2时，质点的角速度多大？mrr/2FvO第四章补充例题第四章刚体的转动物理学第五版32解m转动中，所受力矩M=0．2222)(rmrmrvr/42v得2211JJL常矢量mrr/2FvO第四章补充例题第四章刚体的转动物理学第五版33Lmg7如图，一长L、质量为m的细棒可绕其一端自由转动，开始时棒处于水平位置，求棒转到与水平线成角度时的角速度、角加速度．第四章补充例题第四章刚体的转动物理学第五版34应用转动定律解231mLJcos2mgLMJMcos23Lg求βLmg第四章补充例题第四章刚体的转动物理学第五版35sin3Lg021d2JM220)31(21dcos2mLmgL应用动能定理求ωLmg