第二章_计算机控制系统的数学基础

第2章计算机控制系统的设计方法1.计算机控制系统的基础知识2.计算机控制系统的数学描述3.计算机控制系统的模拟化设计方法4.计算机控制系统的离散化设计方法本章主要内容2．1计算机控制系统的信号变换一、连续信号的采样03T4T5T6T7T8TT2T3T4T5T6T7T8TT)(tf)(tf)(tf)(tf0Tt/Tt/2TT图1采样过程采样:用连续信号在离散时间瞬时值的序列代替原来连续信号的过程在计算机控制系统中，采样信号是一数字序列，可分解成一系列单脉冲之和。)(*tfkffftf＋10)(*)()()(*kTtkTftfk式中，为时刻的单脉冲，脉冲的幅值为时刻的单脉冲，脉冲的幅值；……；为时刻的单脉冲，脉冲的幅值Tt00f)0(Tf1fTt1)1(TfkfkTt)(kTf则：只有在时刻，才有，而在的所有时刻，都有。kTt0)(kTtkTt0)(kTt用函数量化过程)(tf01234561t2t3t4t5t6t7t8ttq1A2A3A4A5A6A7A8A)(*tf0123456'1A'2A'3A'4A'5A'6A'7A'8At1t2t3t4t5t6t7t8t图3量化过程所谓量化，就是采用一组数码（如二进制码）来逼近离散模拟信号的幅值，将其转换成数字信号。经量化使采样信号成为数字信号,该过程称为量化过程。为保证采样信号的频谱是连续信号的频谱无重叠的重复（沿频率轴方向），以便采样信号能反映连续信号的变化规律，采样频率至少应是的频谱的最高频率的两倍，即)2/2(fTs)(tf)(jFmaxmax2s采样定理奠定了选择采样频率的理论基础，但对于连续对象的离散控制，不易确定连续信号的最高频率。因此，采样定理给出了选择频率的准则，在实际应用中还要根据系统的实际情况综合考虑。采样定理二、采样信号的复现和采样保持器保持器保持器是一种基于时域外推原理、把采样信号转换成连续信号，实现采样点之间的插值的元件。零阶保持器)(kTeTk)1()(*kTe)(hte。零阶保持器采用恒值外推原理，把每个采样值一直保持到下一个采样时刻,从而把采样信号变成了阶梯连续信号。)(*te)(hte零阶保持器(b)TT2Tt/)(*te0(a))(hte0TT2Tt/(c)2T图5零阶保持器的功能sesGTsh1)(2．2计算机控制系统的数学描述1.Z变换0*)()()2()2()()()()0()(kkTtkTfTtTfTtTftftf0)()](*[)(kkzkTftfZzF对上式取拉氏变换：Tsze令：则：0e)()](*[)(*kkTskTftfLsF)(zG)(zY)(zR)(zV)(sG)(tr)(*tr)(zGTT)(*ty)(ty(a)(b)零初始条件下，系统或环节的输出采样函数的z变换和输入采样函数的z变换之比。为了应用脉冲传递函数的概念，通常可在输出端虚设一采样开关，对输出的连续时间信号做假想采样，来获得输出信号的采样信号。2.脉冲传递函数00)()()()()(nnnnznTrznTyzRzYzG)(zR)(zG如果已知和，则在零初始条件下，线性定常离散系统的输出采样信号为)()()()(11*zRzGZzYZty3.差分方程)()2()()()()2()()(21021mTkTrbTkTrbTkTrbkTrbnTkTyaTkTyaTkTyakTymn——计算机控制系统的差分方程图6连续系统和离散系统（a）连续系统（b）离散系统)(sF)(tr)(ty)(sF)(kr)(kyTT脉冲传递函数与差分方程的相互转换)()1()()()1()(101mkrbkrbkrbnkyakyakymnnm，若已知n阶离散系统的差分方程是在零初始条件下，进行Z变换)()()()1(11011zRzbzbbzYzazammnnnm得脉冲传递函数为nnmmzazazazbzbzbbzRzYzG2211221101)()()(nm2.3S平面到Z平面之间的映射关系sTzesj()jTTjTTzeeeeT||TRzezTs平面虚轴映射为z平面单位圆，左半平面映射在z平面单位圆内1.s平面与z平面映射关系：二、极点位置与时间响应的关系()iizGzczp()kiickcp1．极点位于实轴2.复极点位置与系统响应之间关系Z平面极点位置的趋势极点越接近原点，脉冲响应收敛速度越快极点从右向左移动，脉冲响应振荡频率增加已知离散系统的脉冲传递函数零、极点在平面中的分布情况，分析系统的动态响应特性2．4计算机控制系统的模拟化设计方法一、连续域-离散化设计的步骤第1步：设计模拟控制器——D(s)第2步：选择合适的采样周期T第3步：选择合适的离散化方法，将D(s)离散化，获得数字控制器D(z)，使两者性能尽量等效。第4步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求，进行下一步；否则，重新进行设计。改进设计的途径有：–①选择更合适的离散化方法–②提高采样频率–③修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等第5步：将D(z)变为差分方程，在计算机上编程实现。根据香农采样定理，系统采样频率的下限为fs=2fmax，此时系统可真实地恢复到原来的连续信号。1.从执行机构的特性要求来看，有时需要输出信号保持一定的宽度，采样周期必须大于这一时间。2.从控制系统的随动和抗干扰的性能来看，要求采样周期短些。3.从微机的工作量和每个调节回路的计算来看，一般要求采样周期大些。4.从计算机的精度看，过短的采样周期是不合适的。二、采样周期的选择实际选择采样周期时，必须综合考虑：—采用周期要比对象的时间常数小得多，否则采样信号无法反映瞬变过程。—采用周期应远小于对象的扰动信号的周期。—考虑执行器的响应速度。—当系统纯滞后占主导地位时，应按纯滞后大小选取，尽可能使纯滞后时间接近或等于采用周期的整数倍。—考虑对象所要求的控制质量，精度越高，采样周期越短，以减小系统的纯滞后。常见被控量的经验采样周期被测参数采样周期说明流量1—5优先选用1—2s压力3—10优先选用6—8s液位6—8优先选用7s温度15—20或纯滞后时间，串级系统：副环T=1/4—1/5T主环成分15—20优先选用18s三、模拟控制器的离散化方法•最常用的表征控制器特性的主要指标：–零极点个数；–系统的频带；–稳态增益；–相位及增益裕度；–阶跃响应或脉冲响应形状；–频率响应特性。等效离散D(z)D(s)•数值积分法一阶向后差法一阶向前差法双线性变换法及修正双线性变换法•零极点匹配法•保持器等价法•z变换法(脉冲响应不变法)离散化方法11()()zsTDzDs1(1)/szTs与z之间的变换关系向后差分(矩形积分)法sTeezsTsT1111.一阶向后差分法主要特性①s平面与z平面映射关系–当=0（s平面虚轴），s平面虚轴映射到z平面为该小圆的圆周。–当0（s右半平面），映射到z平面为上述小圆的外部。–当0（s左半平面），映射到z平面为上述小圆的内部。②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定③变换前后，稳态增益不变。向后差分法的映射关系由于这种变换的映射关系畸变严重，变换精度较低。所以，工程应用受到限制，用得较少。s与z之间的变换关系梯形积分法211()()zsTzDzDs2(1)(1)zsTz1212TszTs2.双线性变换法（突斯汀-Tustin变换法）1212111122111122sTsTsTsTsTezesTsTe主要特性①s平面与z平面映射关系–当=0（s平面虚轴)映射为z平面的单位圆周。–当0（s右半平面），映射到z平面单位圆外。–当0（s左半平面），映射到z平面单位圆内。②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定双线性变换映射关系③频率畸变：双线性变换的一对一映射，保证了离散频率特性不产生频率混叠现象，但产生了频率畸变。④变换前后，稳态增益不变。01()()szDsDz应用①这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好的特性，工程上应用较为普遍。②这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。1e()()sTDzZDss注意，这里的零阶保持器是假想的，并没有物理的零阶保持器。这种方法可以保证连续与离散环节阶跃响应相同，但要进行z变换，同样具有z变换法的一系列缺点，所以应用亦较少。3.带零阶保持器z变换法（阶跃响应不变法）2．5计算机控制系统的离散化设计方法计算机控制系统离散化设计的步骤（直接设计）第1步：求系统广义脉冲传递函数，即对带有零阶保持器的被控对象传递函数进行变换。第2步：根据对控制系统性能指标的要求和其他约束条件，构造系统的闭环脉冲传递函数。第3步：求出数字控制器。第4步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求，进行下一步；否则，重新进行设计。改进设计的途径有：–①选择更合适的离散化方法–②提高采样频率–③修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等第5步：将D(z)变为差分方程，在计算机上编程实现。