结构力学龙驭球第八章-渐近法

第八章渐近法及其他算法简述基本要求：掌握用力矩分配法计算连续梁和刚架的计算，掌握用机动法绘制连续梁影响线形状及连续梁的最不利荷载分布。理解无剪力分配法和力矩分配法与位移法的联合应用理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：增量调整修正的方法；适用范围：连续梁和无未知结点线位移的刚架。（1）转动刚度S：转动刚度S表示杆端对转动的抵抗能力,在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。§8-1基本概念1.名词解释1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。在确定杆端转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移）远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。θMAB1MABMAB111MABΔ②①③④下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB转动刚度SAB=4i是（）√√√√iiiii⑤①②③④iAAAAA4iSAB3iBBBBB分配系数SAB=4i1SAB=3i11SAB=i（2）分配系数设A点有力矩M，求MAB、MAC和MADCABDiABiACiADAM如用位移法求解：AABAABABSiM4AACAACACSiMAADAADADSiM3MMABMACMAD0AmAADACABSSSM)(AADACABASMSSSMMSSMAADAD于是可得MSSMAABABMSSMAACACMMAjAjAAjAjSS1（3）传递系数MAB=4iABAMBA=2iABA21ABBAABMMCMAB=3iABA0ABBAABMMCMAB=iABAMBA=-iABA1ABBAABMMC在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。AlAB近端远端ABAAAB2.基本运算ABCMABMBAMBCABCMABFMBAFMBCFMBMBMBAMBCMB=MBA+MBCABC-MBBAMBCMABM0-MBBAMBCM)(BBABAMM)(BBCBCMM+=最后杆端弯矩：MBA=MBAF+BAMMBC=MBCF+BCMMAB=MABF+ABM然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。固端弯矩带本身符号例1.用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。3m3m6mEIEI200kN20kN/m（1）B点加约束ABC200kN20kN/mMAB=MBA=MBC=mkN15086200mkN150mkN9086202MB=MBA+MBC=mkN60-150150-90（2）放松结点B，即加-60进行分配60ABC-60设i=EI/l计算转动刚度：SBA=4iSBC=3i分配系数：571.0344iiiBA429.073iiBC0.5710.429分配力矩:3.34)60(571.0BAM7.25)60(429.0BCM-34.3-25.7-17.20+(3)最后结果。合并前面两个过程ABC0.5710.429-150150-90-34.3-25.7-17.20-167.2115.7-115.70167.2115.730090M图(kN·m)ABC=1、单结点结构的力矩分配法计算结果是精确的。2、图示刚架可利用力矩分配法求解。AAA3、若图示各杆件线刚度i相同，则各杆A端的转动刚度S分别为：4i,3i,i。4、图示杆AB与CD的EI、l相等，但A端的转动刚度大于C端的转动刚度。ACDBk=EI/l3l§8-2多结点的力矩分配ABCDBCMBAMBCMCBMCDMABMBMCmBAmBCmCB-MB放松，平衡了MC’固定放松，平衡了-MC’固定固定放松，平衡了——渐近运算CB例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN61ABi4182BCi61CDi141432614BCBASS6.04.032132BCBA216131414CDCBSS333.0667.02111CDCB0.40.60.6670.333m-6060-100100分配与传递-33.3-66.7-33.429.4442214.7-14.7-7.3-7.34.42.92.2-1.5-0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6-92.641.3-41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M图（kN·m）ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M图（kN·m）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9FQ图（kN）求支座反力68.256.4B124.61）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。3）结点不平衡力矩要变号分配。4）结点不平衡力矩的计算：结点不平衡力矩（第一轮第一结点）¤固端弯矩之和（第一轮第二、三……结点）¤固端弯矩之和加传递弯矩¤传递弯矩（其它轮次各结点）¤总等于附加刚臂上的约束力矩5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。力矩分配法小结：0.2221114321ABCDFEB3.04.03.0BEBCBAC222.0333.0445.0CFCDCBMFBA=40kN·mMFBC=-41.7kN·mMFCB=41.7kN·m0.30.40.30.4450.33340-41.741.7-18.5-9.3-13.9-9.33.33.34.42.2-1.0-0.5-0.7-0.50.150.150.2-4.651.65-0.250.0743.453.45-46.924.4-9.8-14.61.72-4.9043.546.924.514.73.451.79.84.89M图)(mkN例2.4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFEABC1m5m1mEI=常数D50kN5/61/65025-20.8-4.2-20.8+20.8+50例3.带悬臂杆件的结构的力矩分配法。50kN·mABC1m5m1mEI=常数D50kN4EI4EI2EI2EI用力矩分配法计算，作M图。取EI=5i=4i=4i=2.5i=2.5↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓10kN/m20kN5m5m1m4m20kN20结点杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCmμ0.2630.3160.4210.6150.38500031.25－20.8320.8300(－20)－2.74－3.29－4.39－1.37－2.20MB=31.25－20.83=10.42MC=20.83－20－2.2=－1.370.840.530.270.42－0.10－0.14－0.18－0.05－0.09ABCEF－2.85结点杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCmμ0.2630.3160.4210.6150.38500031.25－20.8320.8300(-20)－2.74－3.29－4.39－1.37－2.200.840.530.270.42－0.10－0.14－0.18－0.05－0.090.060.030.020.03－0.01－0.01－0.01M0－1.4227.80－24.9619.940.560.29k计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。k有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和－结点集中力偶(顺时针为正)若用力矩分配法计算图示刚架，则结点A的不平衡力矩为lABCDPE3IIIIM1.52ll/2l/2l§8-3对称结构的计算↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i↓↓↓↓↓↓20kN/m1.5miiACEGHSAC=4iSCA=4iSCH=2iSCE=4iμAG=0.5μAC=0.5μCA=0.4μCH=0.2μCE=0.4mkNmAG.1535.1202结点杆端ACEAGACCACHCECHmμ0.50.50.40.20.4－150.50.50.40.20.4－157.57.53.75－1.50－0.75－1.50－0.75－0.750.370.380.19－0.08－0.03－0.08－0.04－0.040.020.02结点杆端ACEAGACCACHCECHmμM－7.117.112.36－0.78－1.58－0.79↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m7.110.791.582.630.791.587.112.630.78M图（kN.m)例、求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。l1l2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABDCEI1I2↓↓↓↓↓↓↓qEBF解：取等代结构如图。设梁柱的线刚度为i1，i22i12i222iSBF21iSBE212iiiBF211iiiBE12)2(32121qllqmBE212iiii211iiBEBFμABDCEFμBEBF212iiii211iim1221ql1221211qliii1221212qliii1221212qliii1221212qliiiM1221212qliii1221212qliiiM图k当竖柱比横梁的刚度大很多时(如i2≥20i1),梁端弯矩接近于固端弯矩ql2/12。此时竖柱对横梁起固定支座的作用。k当横梁比竖柱的刚度大很多时(如i1≥20i2),梁端弯矩接近于零。此时竖柱对横梁起铰支座的作用。k由此可见：结构中相邻部分互为弹性支承，支承的作用不仅决定于构造作法，也与相对刚度有关。k如本例中只要横梁线刚度i1超过竖柱线刚度i2的20倍时，横梁即可按简支梁计算；反之只要竖柱i2超过横梁线刚度i1的20倍时，横梁即可按两端固定梁计算。i2i1i2i1§8-4无剪力分配法一、应用条件：结构中有线位移的杆件其剪力是静定的。FPFPFPFPFPFPABCDFPFPFPABCDFP2FP3FP柱剪力图即：刚架中除了杆端无相对线位移的杆外，其余杆件全是剪力静定杆。二、单层单跨刚架BACBACAASAB=iABSAC=3iAC只阻止转动放松单元分析：ABABMABMBAAFQ=0等效ABAMABSAB=iABCAB=-1上面两个过程主要讨论剪力静定杆件的变形和受力特点。（2）剪力静定杆件的转动刚度S=i；传递系数C=-1。（3）AC杆的计算与以前一样。（1）求剪力静定杆的固端弯矩时，先由平衡条件求出杆端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动，远端固定杆件计算固端弯矩。1、剪力静定杆的固端弯矩：↓↓↓↓↓↓↓↓•将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动，另端固定的杆计算固端弯矩。2、剪力静定杆的转动刚度和传递系数：θAΔABMAB=4iθA－6iΔ/lMBA=2iθA－6iΔ/l∵FQBA=－（MAB+MBA）/l=0∴MBA=－MAB，∴MAB=iθA\剪力静定杆的S=iC=－1Δ/l=θA/2MBA=-iθA求剪力静定杆的固端弯矩时\先由平衡条件求出杆端剪力；例：2m2m4m5kNABC1kN/mi1=4i2=3（1）M755.345163BCM67.2641622qlMBA33.532qlMAB（2）S、、C123312iSiSBCBA8.02.01233BCBA1BAC0.20.8-2.67-3.75-5.331.285.14-1.28-1.391.39-6.611.395.706.61M图(kN·m)三、单跨多层刚架