信号与系统课后习题参考答案

第一章作业解答1.9解：（b）jtttjeeetx−−+−==)1(2)(由于，故不是周期信号；)()(2)1()1())(1(2txeeeTtxTjtjTtj≠==++−+−++−（或者：由于该函数的包络随t增长衰减的指数信号，故其不是周期信号；）（c）则njenxπ73][=πω70=7220=ωπ是有理数，故其周期为N=2；1.10解：10)110cos(21=→+ωt，则：5211πωπ==T4)14(s2=→−ωtin，则：2422ππ==T则：整个信号的周期为：π==},{21TTLCMT1.11解：74174nenjπωπ=→，则：kN11277422===ππωπ，71=⇒N52252nenjπωπ=→，则：kN22255222===ππωπ，52=⇒N直流信号‘1’不影响信号的周期，故整个信号的周期为：35},{21==NNLCMN1.12解：]4[1][1)1(]1[1][43−−=−−==+−−−=∑∑∞=∞=numnmkknnxmkδδ1ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ-3–2–10123456n1……减去：-3–2–10123456nu[n-4]…等于：…-3–2–10123456n故：即：M=-1，n]3[+−nu0=-3。1.13解：)2()2()]2()2([)()(−−+=−−+==∫∫∞−∞−tutuddxtyttττδτδττty(t)1-202则：41|)(|222∫∫−∞∞−∞===dtdttyE1.14解：x(t)的一个周期如图(a)所示，x(t)如图(b)所示：2tx(t)的一个周期1-2012（a）tx(t)1-20124213…………(b)而：g(t)如图(c)所示tg(t)(1)0124323…………(c)1dttdx)(如图（d）所示：tdx(t)/dt(3)0124323…………(c)1(-3故：)1(3)(3)(−−=tgtgdttdx则：1t,0t3,32121==−==；AA1.15解：该系统如下图所示：S1S2x[n]=x1[n]y[n]=y2[n]y1[n]=x2[n]3（1）]4[2]3[5]2[2]}4[4]3[2{21]}3[4]2[2{]3[21]2[][][1111111222−+−+−=−+−+−+−=−+−==nxnxnxnxnxnxnxnxnxnyny即：]4[2]3[5]2[2][−+−+−=nxnxnxny（2）若系统级联顺序改变，该系统不会改变，因为该系统是线性时不变系统。（也可以通过改变顺序求取输入、输出关系，与前面做对比）。1.17解：（a）因果性：)(sin)(txty=举一反例：当)0()y(,0intsxt=−=−=ππ则时输出与以后的输入有关，不是因果的；（b）线性：按照线性的证明过程（这里略），该系统是线性的。1.20解：（a）)(21)2cos()(221tjtjeettx−+==则：)(21)}(21{)(33221tjtjtjtjeeeeTty−−+=+=；(b)tjjtjjtjtjeeeeeettx2121)12()12(22121)(21))21(2cos()(−−−−−+=+=−=则：)31(3cos)(212121)()31(3)31(331312−=+=+=−−−−−teeeeeetytjtjtjjtjj（注意：此系统不是时不变系统。）1.21(a)x(t-1)4012312t-1x(t-2)(b)x(2-t)-3-2-1012t-4x(t+2)-1123412t0x(-t+2)-1（c）x(2t+1)-2-10112t-3x(t+1)-1-1-0.500.512t-1.5x(2t+1)-1(d)x(4-t/2)5-5-4-3-212t-6x(t+4)-1345612t2x(-t+4)-168101212t4x(-t/2+4)-1（e）[x(t)+x(-t)]u(t)-101212t-2x(-t)-101213t[x(t)+x(-t)]u(t)-1(f))]23-(t)23(tx(t)[δ−+δ0t-3/23/2)]23-(t)23(tx(t)[δ−+δ（-1/2）（-1/2）61.22(a)x[n-4]1111x[n-4]1/2-1/2-1012345678n1/21/2(b)x[3-n]1111x[n+3]1/2-1/2-1-7-6-5-4-3-2-101n1/21/21x[-n+3]-1/2-176543210n1/21111/2-1-28(c)x[3n]1x[3n]-4-3-2-10123n1/2-1/27(d)x[3n+1]1111x[n+1]1/2-1/2-1-5-4-3-2-10123n1/21/21x[3n+1]-5-4-3-2-10123n1/21/2(e)x[n]u[3-n]=x[n]1111x[n]u[3-n]1/2-1/2-1-4-3-2-101234n1/2(f)]2[2]-x[n−δn1-4-3-2-10123n1]2[2]-x[n−δn(g)x[n]1-21x[n]21n）（[phone]n1/21x[n]1-21x[n]21n）（+(g)]1-nx[2）（111-5-4-3-2-10123n1.23x(t)1t-20-1x(-t)1t20-1则：)]()([21)(txtxtxe−+=，)]()([21)(txtxtxo−−=分别如下图所示：xe(t)1t20-211/2xo(t)t20-2-11/21（注意：在对信号做奇偶分解时，尽量用图形的方式直观；而表达式烦琐，且容易出错）91.25解：(a))34cos(3)(π+=ttx是周期信号，40=ω220ππω==T1.26解：（a）)176sin(][+=nnxπ760πω=则：3720=ωπ为有理数，故该信号是周期的，其周期N=7；（b）)81cos(][π−=nnx810=ω则：πωπ1620=为无理数，故该信号不是周期的；(d))]4cos()43[cos(21)]42cos()42[cos(21)4cos()2cos(][nnnnnnnnnxππππππππ+=−++==)43cos(nπ的周期，81=N)4cos(nπ的周期82=N，故整个信号的周期N=8。1.27先证明几个基本的系统：时移系统、反折系统、尺度系统的线性、时不变、因果、稳定性；一：时移系统：)()(1ttxty−=(1)线性：)()()()(122111ttxtyttxty−=−=)()()1()1()()()()()(2121133213tytytxtxttxtytxtxtx+=−+−=−=→+=：满足可加性)()()()()()(11114414tkyttkxttxtytkxtx=−=−=→=：满足齐次性；故：时移系统是线性系统；(2)时不变性：)()(111ttxty−=令：)()()()()(101122012tttxttxtyttxtx−−=−=→−=而：)()(01101tttxtty−−=−10统。故时移系统是时不变系)()(201tytty=−（3）因果性：由定义可知，当，则系统是因果的；否则为非因果系统；01≥t（4）记忆性：由定义可知，时移系统是记忆系统；（5）稳定性：，则∞|x(t)|∞|)t-x(t|0（由于信号进行时移后，不影响幅度）故时移系统是稳定的；二、反折系统：线性、时变、非因果、记忆、稳定；三、尺度系统：线性、时变、非因果、记忆、稳定；(a))2()2()(txtxty−+−=解：由于该系统由时移与反折系统所组成，故性质由二者决定:线性、时变、非因果、记忆、稳定；（b）)(]3[cos)(txtty=线性(略)：是线性的时不变性：)(]3[cos)(1txtty=令：)(]3[cos)(]3[cos)()()(0122012ttxttxttyttxtx−==→−=而：)()](3[cos)(01001ttxtttty−−=−故系统时变)()(201tytty≠−(总结：若y(t)与x(t)之间的关系除了x(t)的形式外，还包括有关于t的函数，则该系统是时变系统)因果性：输出仅与x(t)的当前值有关，故系统因果；(注意，因果性的定义：仅与当前值或以前值有关【二者只要满足一个就是】)记忆性：输出仅与x(t)的当前值有关，故为非记忆系统；稳定性：由于cos3t是有界的函数，则x(t)有界，y(t)有界，故系统稳定；（c）∫∞−=tdxty2)()(ττ解：线性：该系统是线性的（参考1小题证明）；时不变性：∫∞−=tdxty211)()(ττ令：)()(012ttxtx−=11则：∫∫∫∫−∞−−∞−∞−∞−===−−==0021210201222)(')'(')()()(ttttttdxdxtdtxdxtyττττττττττ令而：∫∫−∞−−∞−==−00221)(2101)()()(ttttdxdxttyττττ故系统时变)()(201tytty≠−（注意，若这里的积分上限是t，不是2t，则系统是时不变的）其他为：记忆、非因果，不稳定；（d）该式改写为：)()]2()([)(tutxtxty−+=线性：系统是线性、时变、因果、记忆、稳定的；所有答案如下表所示：记忆时变线性因果稳定a是是是非是b非是是是是c是是是非非d是是是是是e是否否是是f是是是非是g是否是非非1.31解：(a))2()((112−−=txtxtx由于该系统是LTI系统，则)2()((112−−=tytyty（b）)1()1((113−++=txtxtx由于该系统是LTI系统，则)1()1()(113−++=tytyty1201234ty2(t)-1012ty3(t)131第二章作业解答2.1解：（a）由多项式相乘法：3,2,1,0}1,0,2,1{][=−=nnx1,0,1}2,0,2{][−==nnh120-1202240-2240-224220-2定义域为：[0-1：3+1]=[-1,4]即：4,3,2,1,0,1}2,0,2,2,4,2{][−=−=nny（b）由性质：（若][][*][],[][*][00nnynnhnxnynhnx−=−=则：）得：][]2[][*]2[2nynynhnx=+=+则：2,1,0,1,2,32}2,0,2,2,4,2{][−−−=−=nny（c）同(b)：]2[]2[*][][3+=+=nynhnxny2.3解：x[k]、h[n-k]如图所示：012345k……x[k]-1+nn1+n2+nkh[n-k]……12])21(1[2211)21()21(4)21()21()21(][0220][022132222222+++=−−+=−=−−===+=+∑∑nnknkknknynnnynn时，时，即：当时，时，即：当即：][])21(1[2][1nunyn+−=2.5解：由题意：{}90:][nx{}Nnh0:][则：{}90:][+Nny而：0]14[=y则说明5N又：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++≤≤−+≤++==NnNnnNnNNNn909999101n0n0h[n]*x[n]y[n]][ny的最大值为N+1结合：5]4[=y，故N=4；2.7解：注意此题只是线性系统，非时不变系统。（a）]6[]2[]2[]2[]1[]2[][][−−−=−=−−δ=−=∑∑∞=−∞=∞=−∞=nunungkngkkngkxnykkkk（a）]8[]4[]4[]2[]2[]2[][][−−−=−=−−δ=−=∑∑∞=−∞=∞=−∞=nunungkngkkngkxnykkkk(c)由(a)、（b）小题可知，当输入信号时延一个单位，输出不是同样时延一个单位，故不是时不变系统，即非LTI系统；(d)可采用归纳法：]4[][][−−→=δnunun]6[]2-[]1-[−−→=δnunun]8[]4-[]2-[−−→=δnununL+δ+δ+δ+δ==]3-[]2-[]1-[][][][nnnnnunx32]-u[nu[n]10]-u[n6]-u