信号与系统教案第2章(吴大正)

信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-1页■电子教案第二章连续系统的时域分析2.1LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解二、关于0-和0+初始值三、零输入响应和零状态响应2.2冲激响应和阶跃响应一、冲激响应二、阶跃响应2.3卷积积分一、信号时域分解与卷积二、卷积的图解2.4卷积积分的性质一、卷积代数二、奇异函数的卷积特性三、卷积的微积分性质四、卷积的时移特性点击目录，进入相关章节信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-2页■电子教案LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。第二章连续系统的时域分析2.1LTI连续系统的响应2.1LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t)信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-3页■电子教案2.1LTI连续系统的响应微分方程的经典解：y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解）齐次解是齐次微分方程y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。例描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求（1）当f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1时的全解；（2）当f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0时的全解。特解的函数形式与激励函数的形式有关。P43表2-1、2-2齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-4页■电子教案2.1LTI连续系统的响应解:(1)特征方程为λ2+5λ+6=0其特征根λ1=–2，λ2=–3。齐次解为yh(t)=C1e–2t+C2e–3t由表2-2可知，当f(t)=2e–t时，其特解可设为yp(t)=Pe–t将其代入微分方程得Pe–t+5(–Pe–t)+6Pe–t=2e–t解得P=1于是特解为yp(t)=e–t全解为：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t+C2e–3t+e–t其中待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–1解得C1=3，C2=–2最后得全解y(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥0信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-5页■电子教案（2）齐次解同上。当激励f(t)=e–2t时，其指数与特征根之一相重。由表知：其特解为yp(t)=(P1t+P0)e–2t代入微分方程可得P1e-2t=e–2t所以P1=1但P0不能求得。全解为y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t+P0e–2t=(C1+P0)e–2t+C2e–3t+te–2t将初始条件代入，得y(0)=(C1+P0)+C2=1，y’(0)=–2(C1+P0)–3C2+1=0解得C1+P0=2,C2=–1最后得微分方程的全解为y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,t≥0上式第一项的系数C1+P0=2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。2.1LTI连续系统的响应信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-6页■电子教案2.1LTI连续系统的响应二、关于0-和0+初始值若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci时用t=0+时刻的初始值，即y(j)(0+)(j=0,1,2…，n-1)。而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。下列举例说明。信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-7页■电子教案例：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。解：将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2δ(t)+6ε(t)（1）利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-t0+区间等号两端δ(t)项的系数应相等。由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而y’(t)在t=0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由于y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。故y(0+)=y(0-)=22.1LTI连续系统的响应信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-8页■电子教案对式(1)两端积分有0000000000)(6)(2)(2)('3)(''dttdttdttydttydtty由于积分在无穷小区间[0-，0+]进行的，且y(t)在t=0连续，故00000)(,0)(dttdtty于是由上式得[y’(0+)–y’(0-)]+3[y(0+)–y(0-)]=2考虑y(0+)=y(0-)=2，所以y’(0+)–y’(0-)=2，y’(0+)=y’(0-)+2=2由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。2.1LTI连续系统的响应信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-9页■电子教案2.1LTI连续系统的响应三、零输入响应和零状态响应y(t)=yx(t)+yf(t),也可以分别用经典法求解。注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值yx(j)(0+),yf(j)(0+)(j=0，1，2，…，n-1)的计算。y(j)(0-)=yx(j)(0-)+yf(j)(0-)y(j)(0+)=yx(j)(0+)+yf(j)(0+)对于零输入响应，由于激励为零，故有yx(j)(0+)=yx(j)(0-)=y(j)(0-)对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有yf(j)(0-)=0yf(j)(0+)的求法下面举例说明。信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-10页■电子教案2.1LTI连续系统的响应例：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。解：（1）零输入响应yx(t)激励为0，故yx(t)满足yx”(t)+3yx’(t)+2yx(t)=0yx(0+)=yx(0-)=y(0-)=2yx’(0+)=yx’(0-)=y’(0-)=0该齐次方程的特征根为–1，–2，故yx(t)=Cx1e–t+Cx2e–2t代入初始值并解得系数为Cx1=4,Cx2=–2，代入得yx(t)=4e–t–2e–2t,t0信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-11页■电子教案2.1LTI连续系统的响应（2）零状态响应yf(t)满足yf”(t)+3yf’(t)+2yf(t)=2δ(t)+6ε(t)并有yf(0-)=yf’(0-)=0由于上式等号右端含有δ(t)，故yf”(t)含有δ(t)，从而yf’(t)跃变，即yf’(0+)≠yf’(0-)，而yf(t)在t=0连续，即yf(0+)=yf(0-)=0，积分得[yf’(0+)-yf’(0-)]+3[yf(0+)-yf(0-)]+20000d)(62d)(ttttyf因此，yf’(0+)=2–yf’(0-)=2对t0时，有yf”(t)+3yf’(t)+2yf(t)=6不难求得其齐次解为Cf1e-t+Cf2e-2t，其特解为常数3，于是有yf(t)=Cf1e-t+Cf2e-2t+3代入初始值求得yf(t)=–4e-t+e-2t+3，t≥0信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-12页■电子教案2.2冲激响应和阶跃响应2.2冲激响应和阶跃响应一、冲激响应由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)]例1描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。解根据h(t)的定义有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ(t)h’(0-)=h(0-)=0先求h’(0+)和h(0+)。信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-13页■电子教案2.2冲激响应和阶跃响应因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。积分得[h’(0+)-h’(0-)]+5[h(0+)-h(0-)]+6=100)(dtth考虑h(0+)=h(0-)，由上式可得h(0+)=h(0-)=0,h’(0+)=1+h’(0-)=1对t0时，有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=0故系统的冲激响应为一齐次解。微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为h(t)=(C1e-2t+C2e-3t)ε(t)代入初始条件求得C1=1,C2=-1,所以h(t)=(e-2t-e-3t)ε(t)信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-14页■电子教案2.2冲激响应和阶跃响应例2描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f”(t)+2f’(t)+3f(t)求其冲激响应h(t)。解根据h(t)的定义有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)(1)h’(0-)=h(0-)=0先求h’(0+)和h(0+)。由方程可知，h(t)中含δ(t)故令h(t)=aδ(t)+p1(t)[pi(t)为不含δ(t)的某函数]h’(t)=aδ’(t)+bδ(t)+p2(t)h”(t)=aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+p3(t)代入式(1)，有信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-15页■电子教案2.2冲激响应和阶跃响应aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+p3(t)+5[aδ’(t)+bδ(t)+p2(t)]+6[aδ(t)+p1(t)]=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)整理得aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c+5b+6a)δ(t)+p3(t)+5p2(t)+6p1(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)利用δ(t)系数匹配，得a=1，b=-3，c=12所以h(t)=δ(t)+p1(t)（2）h’(t)=δ’(t)-3δ(t)+p2(t)（3）h”(t)=δ”(t)-3δ’(t)+12δ(t)+p3(t)（4）对式(3)从0-到0+积分得h(0+)–h(0-)=–3对式(4)从0-到0+积分得h’(0+)–h’(0-)=12故h(0+)=–3，h’(0+)=12信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-16页■电子教案2.2冲激响应和阶跃响应微分方程的特征根为–2，–3。故系统的冲激响应为h(t)=C1e–2t+C2e–3t，t0代入初始条件h(0+)=–3，h’(0+)=12求得C1=3，C2=–6,所以h(t)=3e–2t–6e–3t,t0结合式(2)得h(t)=δ(t)+(3e–2t–6e–3t)ε(t)对t0时，有h”(t)+6h’(t)+5h(t)=0二