电路分析中树支电压与连支电流法

*§3－6树支电压与连支电流法在第三章中介绍了网孔分析、回路分析、结点分析和割集分析等常用的电路分析方法，并且采用通常求解线性代数方程的方法得到电压电流。为了开扩眼界，培养创新精神，本节介绍采用树支电压与连支电流作为变量的一种分析方法，并采用信号流图来表示和求解电路方程，得到电压和电流。这种方法可以对电路元件参数采用符号表示的网络进行分析和计算,计算结果是以全部或部分符号表示的一个公式。说明：本小节介绍的方法供教师和学生参考，教材中没有介绍。我们先看图示电路。0111111S5454354535S5454354454353S43553IkRRRRRRRRRUIkRRRRRRRUURRURIUkRURR用结点分析方法可以得到以下计算结果用SNAP程序分析也可以得到相同的结果，如下所示：供SNAP程序使用的电路数据文件的格式如下:第一行:注释行,可以输入有关电路编号，类型，用途等数据第二行:输入一个表示电路支路数目的一个正整数第三行以后输入b条支路的数据，每一行按元件类型，支路编号，开始结点，终止结点，控制支路，元件参数1，元件参数2的次序输入一条支路的有关数据。元件类型和元件参数用一个或两个大写英文字母表示。其它几个数据用整数表示，每个数据之间用一个以上的空格相隔。元件支路开始终止控制元件元件类型编号结点结点支路符号符号I101IsVC2014kR312R3R420R4R510R5独立结点数目=2支路数目=5-----结点电压,支路电压和支路电流------R4R5IsU4=--------------------------R4R5k-R5-R4-R3-R4R5Is-R3R5IsU5=--------------------------R4R5k-R5-R4-R3R4R5kIs-R5Is-R4Is-R3IsI1=------------------------------------R4R5k-R5-R4-R3-R4R5kIsI2=---------------------------R4R5k-R5-R4-R3-R5IsI3=----------------------------R4R5k-R5-R4-R3一、树支电压与连支电流法电路分析的基本方法是选择一组电压电流变量来建立电路方程，并求解电路方程得到电压电流。例如支路电流法方程是以支路电流作为变量来建立电路方程；支路电压法方程是以支路电压作为变量来建立电路方程。我们也可以采用树支电压与连支电流作为变量来建立电路方程。我们知道连通电路全部结点而不形成回路的支路组成一个树，这些树支电压是一组独立的电压变量，已知树支电压可以用KVL求得其余各连支的电压；连支电流是一组独立的电流变量，已知连支电流可以用KCL求得其余各树支的电流。现在举例加以说明图(a)所示电路的定向图如图(b)所示，选择支路4和5作为树支，则支路1、2、3为连支。由此可以列出KCL和KVL方程，如下所示：55544434342S14535251321534VCRKVLKCLIRUIRUUGIkUIIIUUUUUUUIIIIII：：－：将KCL和KVL代入VCR方程中，得到以下方程组这就是以树支电压和连支电流作为变量的电路方程。35251553444454342S1IRIRIRUIRUUGUGIkUIII44444434342S14535251321534VCRKVLKCLIRUIRUUGIkUIIIUUUUUUUIIIIII：：：求解以上方程可以得到与结点方程相同的结果。S5454354535S54543544IkRRRRRRRRRUIkRRRRRRRU35251553444353342S1IRIRIRUIRUUGUGIkUIII可以用观察电路的方法写出以树支电压和连支电流作为变量的电路方程，如下所示：就电阻而言，可以理解为：树支电压等于电阻乘上同一割集的连支电流的代数和。连支电流等于电导乘上同一回路的树支电压的代数和。二、用信号流图表示树支电压和连支电流方程代数方程组可以用信号流图来表示，并采用图论的方法来求解。信号流图由一些节点和支路组成，节点代表方程变量，支路代表系数，而节点等于各入射支路增益乘起点变量之和。例如43533UGUGI3545155IRIRIRU35251553444353342S1IRIRIRUIRUUGUGIkUIII最后根据这组代数方程画出的信号流图如下所示：这个信号流图可以用观察电路图的方法直接画出来。三、用梅森公式求解信号流图根据梅森公式，输出电压(电流)与输入电压(电流)之比等于miiiPxxH1iokkkkkkkjkjLLLL3,2,1,,1)1(1其中L表示信号流图的回路，上图有三个一阶回路，即kRRGRGRGLLLLkk54353431111,35454354353431,11RkRRRRRkRRGRGRGLkk－＋miiiPxxH1io分子中的Pi表示由输入节点到输出节点正向通路增益之乘积。例如由节点I1到节点U5的P＝R5。分子中的i表示移去通路后所得到子图的行列式，例如移去由节点I1到节点U5的通路后子图的行列式为431,11RGLkk＝431,11RGLkk由此求得kRRRRRRRRkRRGRGRGRGRIU54543435543534343515)(1)1(例如由节点I1到节点U5的P＝R5。移去由节点I1到节点U5的通路后子图的行列式为miiiPxxH1io用同样的方法可以求得kRRRRRRRkRRGRGRGRGRIUIU5454354543534343514S41kRRRRRkRRkRRGRGRGkRGRIIII5454354543534343512S21kRRRRRRkRRGRGRGGRIIII54543554353433513S31画出下面图示电路的信号流图，并求解出I1先求信号流图的行列式，该图有6个一阶回路，即12452323215421416543211,RGRGkRGRGkGRRGRGLLLLLLLkk该图有5个二阶不接触回路，即65646351412,LLLLLLLLLLLkk先求信号流图的行列式为6564635141654321)(1LLLLLLLLLLLLLLLL现在求电流I1，由U7到I1的通路增益乘积P＝G1，移去通路后子图的行列式为1265646541)(1LLLLLLL最后求得65646541S1)(1LLLLLLLUI65646541S1)(1LLLLLLLUI假设R1＝R3＝R5＝1，R2＝R4＝2，则222242654321LLkLLLL，＝，，，，37731421691SS1IURkkUIi即最后求得信号流图以及梅森公式在研究反馈放大器时得到广泛应用。图(a)表示增益为k的放大器，图(b)表示在增益为k的放大器上加上反馈网络，其增益的计算容易用信号流图以及梅森公式求得kxxiokkxxi1o郁金香