必修五基本不等式(第一课时)

正方形ABCD四个直角三角形结论交给你，解释靠自己！动手吧！回答问题！探索新知证明：把已有的知识进行变形，是我们数学研究中推陈出新的重要方法探索新知“作差法”快快动手吧！探索新知基本不等式的证明方法非常多，我们再来欣赏另一种利用几何图形来证明定理2的方法吧！探索新知几何平均数(0,0)2ababab当且仅当当且仅当a=b等号成立时，等号成立。基本不等式：注意：两个不等式的不同,而等号成立的条件相同.几何平均数算术平均数我们把这个基本不等式也经常称作均值不等式1.从平均数的角度：两正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数不等式说明：多角度理解不等式：2.从数列的角度：两正数的等差中项大于或等于它们的等比中项剖析新知比对分析、加深理解基本不等式1：基本不等式2：相同点：不同点：两个不等式适用的范围不同剖析新知请判断下列表述的正误。（基本不等式的适用范围）（基本不等式的取等条件）（基本不等式的灵活使用）××学以致用，小试牛刀剖析公式应用⑴a、b是两个正数.⑵当且仅当a=b时“＝”号成立’1.注意成立的条件2.变形用4、判断正误：(1)2x+1≥2x()；(2)1xx≥2()；(3)baab≥2()；(4)lglgab≥2lglgab()；(5)ab≤(2ab)2()。√√×××10,xyxxx例若求的最小值及1此时、的值。110,2112xyxxxxxxy解：2当=时，等号成立当=时，取得最小值，最小值为10,xyxx变式若：求的最大值。0,011()()2,()1()21211xxxxxxxxyxxxyx解：2----当=-时，-取，得时最号大成值立，时最等大当=即=值为--[规律方法]在使用基本不等式ab≤a＋b2a≥0，b≥0时，要注意不等式的双向性.①从左到右：常使用基本不等式的变形公式ab≤a＋b22；②从右到左：常使用a＋b≥2\r(ab).强调环境证明：取等条件学以致用，小试牛刀变式：当a＞0，b＞0时，求证：21a＋1b≤ab.证明∵a＞0，b＞0，∴a＋b≥2ab＞0，∴1a＋b≤12ab，∴2aba＋b≤2ab2ab＝ab.又∵2aba＋b＝21a＋1b，∴21a＋1b≤ab(当且仅当a＝b时取等号).例3、（1）用篱笆围一个面积为36m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=36，篱笆的长为2（x+y）m.2xyxy236,xy2()24xy等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=6.因此，这个矩形的长、宽都为6m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是24m.例3、（2）一段长为100m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2（x+y）=100,x+y=50矩形菜园的面积为xym2502522xyxy得xy625当且仅当x=y=25时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为25m时，菜园面积最大，最大面积是625m21.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则Mab24£2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则P2a＋b≥等号当且仅当a＝b时成立.等号当且仅当a＝b时成立.和定积最大积定和最小课堂小结1.两个非常重要的基本不等式4.使用基本不等式时需要注意的地方适用范围、取等条件、灵活使用2.代数、几何多种方法去证明基本不等式3.两个重要的数学思想变形思想、数形结合思想【课后作业】min91(1)0,9(2)0,xyxxxyxyxxxy、，当=时，=。，当=时，取的最值，且此值为。2、（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？3636大6xy129xy813、用20cm长的铁丝，怎样才能折成一面积最大的矩形？4、直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两直角边的和最小？最小值为多少？525长和宽都为时，面积最大，最大面积为1020两条直角边都为时，和最小，最小为