数学建模高斯扩散模型

§4-2高斯扩散模式ū—平均风速；Q—源强是指污染物排放速率。与空气中污染物质的浓度成正比，它是研究空气污染问题的基础数据。通常：（ⅰ）瞬时点源的源强以一次释放的总量表示；（ⅱ）连续点源以单位时间的释放量表示；（ⅲ）连续线源以单位时间单位长度的排放量表示；（ⅳ）连续面源以单位时间单位面积的排放量表示。δy—侧向扩散参数，污染物在y方向分布的标准偏差，是距离y的函数，m；δz—竖向扩散参数，污染物在z方向分布的标准偏差，是距离z的函数，m；未知量—浓度c、待定函数A(x)、待定系数a、b；式①、②、③、④组成一方程组，四个方程式有四个未知数，故方程式可解。二、高斯扩散模式（一）连续点源的扩散连续点源一般指排放大量污染物的烟囱、放散管、通风口等。排放口安置在地面的称为地面点源，处于高空位置的称为高架点源。1.大空间点源扩散高斯扩散公式的建立有如下假设：①风的平均流场稳定，风速均匀，风向平直；②污染物的浓度在y、z轴方向符合正态分布；③污染物在输送扩散中质量守恒；④污染源的源强均匀、连续。图5－9所示为点源的高斯扩散模式示意图。有效源位于坐标原点o处，平均风向与x轴平行，并与x轴正向同向。假设点源在没有任何障碍物的自由空间扩散，不考虑下垫面的存在。大气中的扩散是具有y与z两个坐标方向的二维正态分布，当两坐标方向的随机变量独立时，分布密度为每个坐标方向的一维正态分布密度函数的乘积。由正态分布的假设条件②，参照正态分布函数的基本形式式（5－15），取μ＝0，则在点源下风向任一点的浓度分布函数为：（5－16）式中C—空间点（x，y，z）的污染物的浓度，mg/m3；A（x）—待定函数；σy、σz—分别为水平、垂直方向的标准差，即y、x方向的扩散参数，m。由守恒和连续假设条件③和④，在任一垂直于x轴的烟流截面上有：（5－17）式中q—源强，即单位时间内排放的污染物，μg/s；u—平均风速，m/s。将式（5－16）代入式（5－17）,由风速稳定假设条件①，A与y、z无关，考虑到③和④，积分可得待定函数A（x）：（5－18）将式（5－18）代入式（5－16），得大空间连续点源的高斯扩散模式（5－19）式中，扩散系数σy、σz与大气稳定度和水平距离x有关，并随x的增大而增加。当y＝0，z＝0时，A（x）＝C（x，0,0），即A（x）为x轴上的浓度，也是垂直于x轴截面上污染物的最大浓度点Cmax。当x→∞，σy及σz→∞，则C→0，表明污染物以在大气中得以完全扩散。2．高架点源扩散在点源的实际扩散中，污染物可能受到地面障碍物的阻挡，因此应当考虑地面对扩散的影响。处理的方法是，或者假定污染物在扩散过程中的质量不变，到达地面时不发生沉降或化学反应而全部反射；或者污染物在没有反射而被全部吸收，实际情况应在这两者之间。（1）高架点源扩散模式。点源在地面上的投影点o作为坐标原点，有效源位于z轴上某点，z＝H。高架有效源的高度由两部分组成，即H＝h＋Δh，其中h为排放口的有效高度，Δh是热烟流的浮升力和烟气以一定速度竖直离开排放口的冲力使烟流抬升的一个附加高度，如图5－10所示。当污染物到达地面后被全部反射时，可以按照全反射原理，用“像源法”来求解空间某点k的浓度。图5－10中k点的浓度显然比大空间点源扩散公式（5－19）计算值大，它是位于(0，0，H)的实源在k点扩散的浓度和反射回来的浓度的叠加。反射浓度可视为由一与实源对称的位于(0，0，－H)的像源（假想源）扩散到k点的浓度。由图可见，k点在以实源为原点的坐标系中的垂直坐标为(z-H)，则实源在k点扩散的浓度为式（5－19）的坐标沿z轴向下平移距离H：（5－20）k点在以像源为原点的坐标系中的垂直坐标为(z＋H)，则像源在k点扩散的浓度为式（5－19）的坐标沿z轴向上平移距离H：（5－21）由此，实源Cs与像源Cx之和即为k点的实际污染物浓度：（5－22）若污染物到达地面后被完全吸收，则Cx＝0，污染物浓度C（x，y，z，H）＝Cs，即式（5－20）。（2）地面全部反射时的地面浓度。实际中，高架点源扩散问题中最关心的是地面浓度的分布状况，尤其是地面最大浓度值和它离源头的距离。在式（5－22）中，令z＝0，可得高架点源的地面浓度公式：（5－23）上式中进一步令y＝0则可得到沿x轴线上的浓度分布：（5－24）地面浓度分布如图图5－11所示。y方向的浓度以x轴为对称轴按正态分布；沿x轴线上，在污染物排放源附近地面浓度接近于零，然后顺风向不断增大，在离源一定距离时的某处，地面轴线上的浓度达到最大值，以后又逐渐减小。地面最大浓度值Cmax及其离源的距离xmax可以由式（5－24）求导并取极值得到。令，由于σy、σz均为x的未知函数，最简单的情况可假定σy/σz＝常数，则当（5－25）时，得地面浓度最大值（5－26）由式（5－25）可以看出，有效源H越高，xmax处的σz值越大，而σz∝xmax，则Cmax出现的位置离污染源的距离越远。式（5－26）表明，地面上最大浓度Cmax与有效源高度的平方及平均风速成反比，增加H可以有效地防止污染物在地面某一局部区域的聚积。式（5－25）和式（5－26）是在估算大气污染时经常选用的计算公式。由于它们是在σy/σz＝常数的假定下得到的，应用于小尺度湍流扩散更合适。除了极稳定或极不稳定的大气条件，通常可设σy/σz＝2估算最大地面浓度，其估算值与孤立高架点源(如电厂烟囱)附近的环境监测数据比较一致。通过理论或经验的方法可得σz＝f（x）的具体表达式，代入（5－25）可求出最大浓度点离源的距离xmax，具体可查阅我国GB3840—91《制定地方大气污染物排放标准的技术方法》。3.地面点源扩散对于地面点源，则有效源高度H＝0。当污染物到达地面后被全部反射时，可令式（5－22）中H＝0，即得出地面连续点源的高斯扩散公式:（5－27）其浓度是大空间连续点源扩散式（5－19）或地面无反射高架点源扩散式（5－20）在H＝0时的两倍，说明烟流的下半部分完全对称反射到上部分，使得浓度加倍。若取y与z等于零，则可得到沿x轴线上的浓度分布：（5－28）如果污染物到达地面后被完全吸收，其浓度即为地面无反射高架点源扩散式（5－20）在H＝0时的浓度，也即大空间连续点源扩散式（5－19）。高斯扩散模式的一般适用条件是：①地面开阔平坦，性质均匀，下垫面以上大气湍流稳定；②扩散处于同一大气温度层结中，扩散范围小于10km；③扩散物质随空气一起运动，在扩散输送过程中不产生化学反应，地面也不吸收污染物而全反射；④平均风向和风速平直稳定，且u＞1～2m/s。高斯扩散模式适应大气湍流的性质，物理概念明确，估算污染浓度的结果基本上能与实验资料相吻合，且只需利用常规气象资料即可进行简单的数学运算，因此使用最为普遍。（二）连续线源的扩散当污染物沿一水平方向连续排放时，可将其视为一线源，如汽车行驶在平坦开阔的公路上。线源在横风向排放的污染物浓度相等，这样，可将点源扩散的高斯模式对变量y积分，即可获得线源的高斯扩散模式。但由于线源排放路径相对固定，具有方向性，若取平均风向为x轴，则线源与平均风向未必同向。所以线源的情况较复杂，应当考虑线源与风向夹角以及线源的长度等问题。如果风向和线源的夹角β＞45，无限长连续线源下风向地面浓度分布为：（5－29）当β＜45时，以上模式不能应用。如果风向和线源的夹角垂直，即β＝90，可得：（5－30）对于有限长的线源，线源末端引起的“边缘效应”将对污染物的浓度分布有很大影响。随着污染物接受点距线源的距离增加，“边源效应”将在横风向距离的更远处起作用。因此在估算有限长污染源形成的浓度分布时，“边源效应”不能忽视。对于横风向的有限长线源，应以污染物接受点的平均风向为x轴。若线源的范围是从y1到y2，且y1＜y2，则有限长线源地面浓度分布为：（5－31）式中，s1＝y1/σy，s2＝y2/σy，积分值可从正态概率表中查出。（三）连续面源的扩散当众多的污染源在一地区内排放时，如城市中家庭炉灶的排放，可将它们作为面源来处理。因为这些污染源排放量很小但数量很大，若依点源来处理，将是非常繁杂的计算工作。常用的面源扩散模式为虚拟点源法，即将城市按污染源的分布和高低不同划分为若干个正方形，每一正方形视为一个面源单元，边长一般在0.5～10km之间选取。这种方法假设：①有一距离为x0的虚拟点源位于面源单元形心的上风处，如图5-12所示，它在面源单元中心线处产生的烟流宽度为2y0＝4.3σy0，等于面源单元宽度B；②面源单元向下风向扩散的浓度可用虚拟点源在下风向造成的同样的浓度所代替。根据污染物在面源范围内的分布状况，可分为以下两种虚拟点源扩散模式：第一种扩散模式假定污染物排放量集中在各面源单元的形心上。由假设①可得：（5－32）由确定的大气稳定度级别和上式求出的，应用P－G曲线图（见下节）可查取xo。再由(x0＋x)分布查出σy和σz，则面源下风向任一处的地面浓度由下式确定：（5－33）上式即为点源扩散的高斯模式（5－24），式中H取面源的平均高度，m。如果排放源相对较高，而且高度相差较大，也可假定z方向上有一虚拟点源，由源的最初垂直分布的标准差确定，再由求出，由求出σz，由(x0＋x)求出σy，最后代入式（5－33）求出地面浓度。第二种扩散模式假定污染物浓度均匀分布在面源的y方向，且扩散后的污染物全都均匀分布在长为π(x0＋x)／8的弧上，如图5-12所示。因此，利用式（5－32）求σy后，由稳定度级别应用P－G曲线图查出x0，再由(x0＋x)查出σz，则面源下风向任一点的地面浓度由下式确定：（5－34）三、扩散参数及烟流抬升高度的确定高斯扩散公式的应用效果依赖于公式中的各个参数的准确程度，尤其是扩散参数σy、σz及烟流抬升高度Δh的估算。其中，平均风速u取多年观测的常规气象数据；源强q可以计算或测定，而σy、σz及Δh与气象条件和地面状况密切相关。1.扩散参数σy、σz的估算扩散参数σy、σz是表示扩散范围及速率大小的特征量，也即正态分布函数的标准差。为了能较符合实际地确定这些扩散参数，许多研究工作致力于把浓度场和气象条件结合起来，提出了各种符合实验条件的扩散参数估计方法。其中应用较多的由是帕斯奎尔(Pasquill)和吉福特(Gifford)提出的扩散参数估算方法，也称为P－G扩散曲线，如图5－13和图5－14所示。由图可见，只要利用当地常规气象观测资料，由表5－1查取帕斯奎尔大气稳定度等级，即可确定扩散参数。扩散参数σ具有如下规律：①σ随着离源距离增加而增大；②不稳定大气状态时的σ值大于稳定大气状态，因此大气湍流运动愈强，σ值愈大；③以上两种条件相同时，粗糙地面上的σ值大于平坦地面。由于利用常规气象资料便能确定帕斯奎尔大气稳定度，因此P－G扩散曲线简便实用。但是，P－G扩散曲线是利用观测资料统计结合理论分析得到的，其应用具有一定的经验性和局限性。σy是利用风向脉动资料和有限的扩散观测资料作出的推测估计，σz是在近距离应用了地面源在中性层结时的竖直扩散理论结果，也参照一些扩散试验资料后的推算，而稳定和强不稳定两种情况的数据纯系推测结果。一般，P－G扩散曲线较适用于近地源的小尺度扩散和开阔平坦的地形。实践表明，σy的近似估计与实际状况比较符合，但要对地面粗糙度和取样时间进行修正；σz的估计值与温度层结的关系很大，适用于近地源的lkm以内的扩散。因此，大气扩散参数的准确定量描述仍是深入研究的课题。估算地面最大浓度值Cmax及其离源的距离xmax时，可先按式（5－25）计算出σz，并图5-14查取对应的x值，此值即为当时大气稳定度下的xmax。然后从图5-13查取与xmax对应的σy值，代如式（5－26）即可求出Cmax值。用该方法计算，在E、F级稳定度下误差较大，在D、C级时误差较小。H越高，误差越小。我国GB3840－91《制定地方大气污染物排放标准的技术方法》采用如下经验公式确定扩散参数σy、σz：（5－35）式中，γ1、α1、γ2及α2称为扩散系数。这些系数由实验确定，在一个相当长的x距