数学建模森林救火问题

扬州工业职业技术学院1森林救火问题的研究【摘要】：森林救火问题是一个优化问题，经过分析我们决定采用极值法和定积分的方法来求森林烧毁的面积，从而解决该问题，通过对问题的剖析，得出表达式：救火的总费用=单位森林面积损失费×损失面积每个队员的单位时间灭火费用人数灭火时间+单位人数一次性支出×参加救火的消防员人数.对各个量进行分析，得知森林损失面积较为难求，于是我们将其单独考虑。在有风的情况下，火势蔓延速度是增加的更快，所以损失面积的表达式图像我们可以近似的看成是一个扇形，由于面积不容易求出，于是我们想到了采用定积分的方法来求扇形图形面积，最后可以求出总费用的表达式，变化出消防员人数的表达式，再用极值法讨论出最佳的人数，从而解决了这个问题【Summary:theforestfireproblemisanoptimizationproblem,afteranalyses,wedecidedtouseextrememethodandthedefiniteintegralmethodtofindtheareaofforestburned,soastosolvetheproblem,throughananalysisoftheproblem,thatexpression:Firetotalcost=Unitsforestarealosses×LossareaEveryteammemberthecostperunitoftimefightingnumberextinguishingtime+unitnumberof扬州工业职业技术学院2one-timeexpenditures×participatedinfirefighting,thenumberoffiremen.Onvariouslevels,theareaofforestlosswasmoredifficulttofind,sowewillwhichseparateconsideration.Inwindyconditions,thespreadrateisincreasingfaster,sothelossofexpressionimagewecanapproximateasafan,becausetheareaisnoteasytofind,soweexpecttheuseofthedefiniteintegralmethodtogetthefinalfan-shapedpatternarea,youcanfindoutthetotalcostofanexpression,changethenumberoffiremen,thenusestheexpressionsextrememethoddiscussedthebest,inordertosolvethisproblem【关键词】森林救火优化模型极值问题：1.问题重述森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火。一般情况下，派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支就越大；相反，派往的队员越少，救援开支越少，但灭火时间越长，而且可能由于不能及时灭火而造成更大的损失，那末消防站应派出多少队员前去救火呢？扬州工业职业技术学院32.问题分析如题中所述，森林救火问题与派出的消防队员的人数密切相关，应综合考虑森林损失费和救援费，以总费用最小为目标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小。由此看来这就是一个优化问题了。救火的总费用由损失费和救援费两部分组成。损失费由森林被烧毁的面积大小决定，而烧毁面积与失火、灭火（指火被扑灭）之间的时间差（即火灾持续的时间）有关，灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目，队员越多灭火越快。救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短有关。救援费可具体分为两部分：一部分（f1(x)）是灭火器材的消耗和消防队员的薪金等，这些与队员人数及灭火时间有关；另一部分(f2(x))是运送队员和器材等一次性支出，只与队员人数有关。2.1对f1(x)分析f1(x)=森林单位面积损失费×损失面积其中森林单位面积损失费用是固定的，我们需要考虑的就是设计模型求解损失面积。2.2对ƒ2(x)分析f2(x)=单位人数一次性支出×参加救火的消防员人数单位人数一次性支出也是一定的，人数为待求量。由此f2(x)表达式的确立并不困难。扬州工业职业技术学院4综上可知，问题的关键在确定森林损失面积的表达式：3.符号说明x：消防员人数R为燃烧半径S：森林烧毁的面积：消防队员平均灭火速度0火在无风状态下的自燃速度1风的速度a１：火灾中森林单位面积的损失a2：每个队员的单位时间灭火费用a3：每个消防员一次性费用4.模型假设1)森林损失面积为扇形且角度θ不变2)风速不变3)消防员足够多4)消防员平均救火速度v不变0tt1,dS/dt与t成正比，系数0+1=U(火势蔓延速度）5)t1tt2,0+1降为0+1-x(v为队员的平均灭扬州工业职业技术学院5火速度）6)f1(x)与R(t2)成正比，系数a１(烧毁单位面积损失费）7)每个队员的单位时间灭火费用a2,一次性费用a35图像分析和模型求解：根据假设的图像我们还可以得到进一步的图像；OUtunvR火R-nvt1t2扬州工业职业技术学院6对于面积S（t）的图像我们做出了合理化的假设，图像如下：t2t1t101x01Rt0t2Vttt10112t2t101St0t2Rtt36001^2t1^21401t2t1xt2t1^2S(t)S(t)t1t2tO扬州工业职业技术学院7fxf1xf2xa1Sta2xt2t1a3xa360v0v1^2t1^214v0v1t2t1xt2t1^2c1xt2t1c2xa136001^2t1^21401t101x01xt101x01^2a2xt2t1a3x令D[f[x],x]=0，求出最合理的人数x人。6.模型求解分析：设火灾发生时刻为t=0，开始救火时刻为t=t1，灭火时刻为t=t2，t时刻森林烧毁面积为S（t），则造成损失的被烧毁的森林的面积为S（t2），其导数是森林被烧毁的速度，也表示了火势蔓延的程度。从火灾发生时刻开始到火被扑灭的过程中，被烧毁的森林的面积是不断扩大的，因而S（t）应是时间t的单调非减的函数，即从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段时间内，火势是越来越大的，即。开始救火以后，即t=t1时，如果队员灭火能力足够强，火势会越来越小，即t1~t2，并且当t=t2时，火势停止蔓延。7.模型评价：8.参考文献；