计算流体力学(中科院力学所)-第13讲-湍流及转捩1

计算流体力学讲义第十三讲湍流与转捩（1）李新亮[e-mail]；力学所主楼219；82543801知识点：1讲义、课件上传至(流体中文网）-“流体论坛”-“CFD基础理论”讲课录像及讲义上传至网盘线性稳定性理论2.转捩的预测方法3.壁湍流转捩的涡动力学机制CopyrightbyLiXinliang2§13.1线性稳定性理论一、稳定性基本概念常识：流体中的不稳定性K-H不稳定性A.K-H(Kelvin-Helmholtz）不稳定性——自由剪切流的无粘不稳定性混合层——K-H不稳定性K-H不稳定性的关键：速度剖面有拐点Lee-Lin:速度剖面的拐点是无粘不稳定性的必要条件流体不禁搓，一搓搓出涡已知某运动状态；在此基础上施加微小扰动；如扰动随时间（或空间）衰减，则称系统稳定，否则为不稳定CopyrightbyLiXinliang3自然界中K-H不稳定性图片智利塞尔扣克岛的卡门涡街澳大利亚Duval山上空的云Kelvin–HelmholtzinstabilitycloudsinSanFrancisco佛兰格尔岛周围的卡门涡街高速流低速流自由剪切层受到扰动界面变形后的情况K-H不稳定性的产生机理受阻减速，压力升高，产生高压区高压导致变形加剧CopyrightbyLiXinliang4B.T-S(Tollmien-Schlichting)不稳定性——不可压壁面剪切流的粘性不稳定性Mack不稳定性——超声速壁面剪切流的不稳定性不可压边界层速度剖面（Blasius解）——无拐点可压缩情况——Mach数足够高时会出现广义拐点——出现无粘不稳定性y/00.511.500.5z=400du/dydegreedegreedegreeGIPs0)(dydudyd不可压缩无粘不稳定性——需存在拐点可压缩无粘不稳定性——需存在广义拐点022dyudMach6钝锥（1°攻角）不同子午面的分布dydu超音速平板边界层的不稳定波第1模态（T-S波）第2模态（Mack模态）CopyrightbyLiXinliang5激波密度界面C.R-M(Richtmyer-Meshkov)不稳定性——激波与密度界面作用的斜压效应惯性约束聚变（ICF）示意图小知识——涡的产生机制：粘性、斜压、有旋的外力0p激波密度界面p))((31)(1)()(2vvFvvpdtd斜压项CopyrightbyLiXinliang6D.R-T(Reyleigh-Taylor)不稳定性——重力带来的不稳定性R-T(Reyleigh-Taylor)不稳定性重介质轻介质CopyrightbyLiXinliang7EBarnard热对流不稳定性其他学科的不稳定性：Euler压杆的不稳定性Barnard热对流的胞格结构板壳的不稳定性CopyrightbyLiXinliang8二、稳定性问题的常用数学方法——线性稳定性分析Step1:得到线性化的扰动方程0PU控制方程为：已知其具有解0U0P0U最好是精确解，也可用高精度的数值解令：U'UU00)(U'UU0PP舍弃高阶小量，得到线性化的扰动方程0'UL（1）xuuxuuxuuxuuuuxuuxuu'''')'()'(000000例如：平板的Blasius解，槽道的Poiseuille解线性方程CopyrightbyLiXinliang9Step2:求解的特征值问题什么条件下具有非零解，非零解如何？通常假设在某些方向具有周期性，转化为一维问题)()(ˆ'tzxieyUU0'UL数值方法：将（1）离散——代数方程何时有非零解，非零解如何？——特征值问题xAx0)(xIA0Bx什么条件下有非零解？特征值问题计算量巨大，目前通常只能处理一维问题CopyrightbyLiXinliang10三、稳定性问题示例——不可压缩槽道流动的线性稳定性（LST）理论(以二维为例)uuuuu2Re10pt'uuuStep1:获得线性化扰动方程令：Re2,0,12xpvyuPoiseuille解：'ppp(2)代入方程（2），并舍去高阶小量得到线性化的扰动方程xuuxuuxuuxuuuuxuuxuu'''')'()'(uuuuuuu2Re10pt（3）1）控制方程及边界条件CopyrightbyLiXinliang11研究扰动发展的空间模式和时间模式扰动源)()(ˆ)(ˆ)(ˆtxieypyvyupvu空间模式：任一点的扰动具有时间周期性——符合物理条件假设扰动具有如下形式：沿流向及时间方向具有波动特性称为Tolmien-Schlichting（T-S）波任意扰动可分解为正弦波的叠加——线性系统各成分无相互作用——可独立研究为实数iri为复数扰动波的振幅沿流向指数变化xieAxA)0(/)(空间增长率中性0扰动衰减0扰动增长0i时间模式：扰动具有流向的周期性假设一窗口沿流向运动，研究窗口内扰动的演化为实数为复数iri扰动波的振幅虽时间变化tieAtA)0(/)(时间增长率中性扰动衰减扰动增长000iCopyrightbyLiXinliang12以时间模式为例：)''(Re1''')''(Re1''''0''22222222yvxvypxvutvyuxuxpyuvxuutuyvxu)()(ˆ)(ˆ)(ˆ'''txieypyvyupvu0ˆˆyvuiuypivyuuuiiˆ)(Re1ˆˆˆ][222)()()(ˆ',ˆ',ˆ'txitxitxieuitueyuyueuixuvyypvuiiˆ)(Re1ˆˆ][222（4）（5）（6）线性偏微方程（3）转化成为含参数的线性常微方程组（4）-（6）谱方法的常规做法通过消元法，转化为更高阶的常微方程（不是必须的）常用做法，通常还可以反向为之：高阶方程转化为低阶方程组)4()5(iy消去pˆyviuˆ1ˆvyuyuivyˆReˆ222222222Orr-Sommerfeld（O-S)方程22224422222yyy其中：最终，控制方程为O-S方程：CopyrightbyLiXinliang13vyuyuivyˆReˆ222222222边界条件：1y0y1y0ˆv0ˆˆyvui0ˆu0ˆyvy=1（固壁）:y=0（中心线，对称）：0ˆˆ33yvyv可以取计算域[-1,1],使用固壁边界条件；也可以取计算域[-1,0],使用固壁及对称边界条件流函数形式的O-S方程xvyu,'引入流函数，使得：计算出后，利用公式0ˆˆyvuiuypivyuuuiiˆ)(Re1ˆˆˆ][222计算其他两个量vˆ则：)()(ˆtxiey令：ˆˆiv常数倍ˆ满足的方程及边界条件与完全相同。vˆ如果恒大于（或恒小于0），则必有CopyrightbyLiXinliang14小知识：关于O-S方程vyuyuivyˆReˆ2222222221）O-S方程适用于不可压平行流的稳定性问题（不仅槽道流）2）准平行流（流线沿x方向接近平行）也可使用（例如边界层流动）3）如果舍去粘性（左端）项，则方程称为Rayleigh方程0Re1Rayleigh拐点定理：Rayleigh方程存在不稳定解的必要条件是速度型存在拐点。即存在某点使得sy022syyu若存在无粘不稳定性，该项必有0点。0ˆ22222vyuyu0ˆˆ1122222*dyvyuyuv分部积分，并取虚部，得：0ˆ1122dyucuvci/cu0/iic0ˆ1122dyucuv不存在非稳定解CopyrightbyLiXinliang152）O-S方程的解法数学表述——奇性（特征值）问题：参数为何值时，方程有非零解？非零解如何？vyuyuivyˆReˆ222222222,Re,0),(Re,F0i时间发展槽道湍流：(通常)给定Re及，问取何值时，O-S方程有非零解？iri增长率求解步骤：1）将O-S方程离散，得到线性代数方程组离散方法：差分法、有限元法、谱方法、打靶法……2）求，使得该方程有非零解（奇性或特征值问题）.0)(xATnvvvx)ˆ,......ˆ,ˆ(210)(A求出局部法：只求出一个全局法：计算出全部的试计算的时间发展槽流中（即波长2p）T-S波的频率及增长率CopyrightbyLiXinliang16四:例题7500Re1p2xL2yL21yuvyuyuivyˆReˆ222222222Step1:离散（差分法）一维问题网格：均匀网格（简单，但需要较多网格点N300）非均匀网格)(yy差分离散：3211244321123321122112/)ˆˆ4ˆ6ˆ4ˆ(ˆ2/)ˆˆ2ˆ2ˆ(ˆ/)ˆˆ2ˆ(ˆ/)ˆˆ(ˆhvvvvvyvhvvvvyvhvvvyvhvvyvjjjjjjjjjjjjjjjjjj2阶格式4阶格式：自行推导（利用小程序）yvyvˆˆ非均匀网格：22224422222yyy问题：会产生大量非物理解（例：1000个网格点算出1000个特征值）；可通过不同网格的对比，进行筛选CopyrightbyLiXinliang17离散化后得：0ˆReˆRe222222222222vyivyuyuiy0)(xBAvyuyuivyˆReˆ222222222Tnvvv)ˆ,......ˆ,ˆ(21xStep2:求广义解特征值问题（1）即为何值时（1）有非零解(1)方法1：全局法——一次计算出全部特征值常用Q-Z分解法;其他：幂法、反幂法、Jacobi法，Householder……)0)(xIA狭义特征值问题0)(xBA广义特征值问题求解特征值是计算数学的主要研究方向，有大量成熟的