2014年考研数学二真题与解析

Page1of102014年考研数学二真题与解析一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．当0x时，若)(lnx21，11)cos(x均是比x高阶的无穷小，则的可能取值范围是（）（A）),(2（B）),(21（C）),(121（D）),(210【详解】xx221~)(ln，是阶无穷小，211211xx~)cos(是2阶无穷小，由题意可知121所以的可能取值范围是),(21，应该选（B）．2．下列曲线有渐近线的是（A）xxysin（B）xxysin2（C）xxy1sin（D）xxy12sin【详解】对于xxy1sin，可知1xyxlim且01xxyxxsinlim)(lim，所以有斜渐近线xy应该选（C）3．设函数)(xf具有二阶导数，xfxfxg)())(()(110，则在],[10上（）（A）当0)('xf时，)()(xgxf（B）当0)('xf时，)()(xgxf（C）当0)(xf时，)()(xgxf（D）当0)(xf时，)()(xgxf【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[ba上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．显然xfxfxg)())(()(110就是联接))(,()),(,(1100ff两点的直线方程．故当0)(xf时，曲线是凹的，也就是)()(xgxf，应该选（D）【详解2】如果对曲线在区间],[ba上凹凸的定义不熟悉的话，可令xfxfxfxgxfxF)())(()()()()(110，则010)()(FF，且)()(xfxF，故当0)(xf时，曲线是凹的，从而010)()()(FFxF，即0)()()(xgxfxF，也就是Page2of10)()(xgxf，应该选（D）4．曲线14722ttytx,上对应于1t的点处的曲率半径是（）（Ａ）5010（Ｂ）10010(Ｃ）1010（Ｄ）105【详解】曲线在点))(,(xfx处的曲率公式321)'(yyK，曲率半径KR1．本题中422tdtdytdtdx,，所以tttdxdy21242，3222122tttdxyd，对应于1t的点处13,'yy，所以10101132)'(yyK，曲率半径10101KR．应该选（C）5．设函数xxfarctan)(，若)(')(xfxf，则220xxlim（）（Ａ）1（Ｂ）32（Ｃ）21（Ｄ）31【详解】注意（1）211xxf)('，（2）)(arctan,33310xoxxxx时．由于)(')(xfxf．所以可知xxxxffarctan)()('211，22)(arctanarctanxxx，3131333020220xxoxxxxxxarxxxxxx)()(lim)(arctantanlimlim．6．设),(yxu在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足02yxu及02222yuxu，则（）．（A）),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；（B）),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；（C）),(yxu的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；Page3of10（D）),(yxu的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．【详解】),(yxu在平面有界闭区域D上连续，所以),(yxu在D内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点),(00yx，也就是0yuxu，在这个点处xyuyxuByuCxuA222222,,，由条件，显然02BAC，显然),(yxu不是极值点，当然也不是最值点，所以),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上．所以应该选（A）．7．行列式dcdcbaba00000000等于（A）2)(bcad（B）2)(bcad（C）2222cbda（D）2222cbda【详解】20000000000000000)(bcaddcbabcdcbaaddccbabdcdbaadcdcbaba应该选（B）．8．设321,,是三维向量，则对任意的常数lk,，向量31k，32l线性无关是向量321,,线性无关的（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件【详解】若向量321,,线性无关，则（31k，32l）Klk),,(),,(3213211001，对任意的常数lk,，矩阵K的秩都等于2，所以向量31k，32l一定线性无关．而当000010001321,,时，对任意的常数lk,，向量31k，32l线性无关，但321,,线性相关；故选择（A）．Page4of10二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．12521dxxx．【详解】11122832421212141521)(|arctan)(xxdxdxxx．10．设)(xf为周期为4的可导奇函数，且2012,),()('xxxf，则)(7f．【详解】当20,x时，Cxxdxxxf2122)()(，由00)(f可知0C，即xxxf22)(；)(xf为周期为4奇函数，故1117)()()(fff．11．设),(yxzz是由方程4722zyxeyz确定的函数，则2121,|dz．【详解】设4722zyxezyxFyz),,(，1222122yzzyzyxyeFyzeFF,,，当21yx时，0z，21zxFFxz，21zyFFyz，所以2121,|dzdydx2121．12．曲线L的极坐标方程为r，则L在点22,),(r处的切线方程为．【详解】先把曲线方程化为参数方程sinsin)(coscos)(ryrx，于是在2处，20yx,，222|sincoscossin|dxdy，则L在点22,),(r处的切线方程为)(022xy，即.22xy13．一根长为1的细棒位于x轴的区间10,上，若其线密度122xxx)(，则该细棒的质心坐标x．【详解】质心坐标201135121112210210231010dxxxdxxxxdxxdxxxx)()()()(．14．设二次型3231222132142xxxaxxxxxxf),,(的负惯性指数是1，则a的取值范围Page5of10是．【详解】由配方法可知232232231323122213214242xaxxaxxxxxaxxxxxxf)()()(),,(由于负惯性指数为1，故必须要求042a，所以a的取值范围是22,．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxxdttetxtx1112112．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】21121111111222121122112xxoxxxxexxdttetxxdttetxxxxtxxtx)((lim))((lim))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）已知函数)(xyy满足微分方程''yyyx122，且02)(y，求)(xy的极大值和极小值．【详解】解：把方程化为标准形式得到2211xdxdyy)(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：Cxxyy333131，由02)(y得32C，即32313133xxyy．令01122yxdxdy，得1x，且可知3222222211212)()()(yxyyxdxyd；当1x时，可解得1y，01y，函数取得极大值1y；当1x时，可解得0y，02y，函数取得极小值0y．17．（本题满分10分）Page6of10设平面区域004122yxyxyxD.,|),(．计算Ddxdyyxyxx)sin(22【详解】由对称性可得432112121212022222222DDDDdrrrddxdyxdxdyyxyxyxdxdyxyxydxdyxyxxsin)sin()sin()()sin()sin(18．（本题满分10分）设函数)(uf具有二阶连续导数，)cos(yefzx满足xxeyezyzxz222224)cos(．若0000)(',)(ff，求)(uf的表达式．【详解】设yeuxcos，则)cos()(yefufzx，yeufyeufxzeufxzxxyxcos)('cos)(,)('cos2222;yeufyeufyzyeufyzxxxcos)('sin)(,sin)('2222；xxxeyefeufyzxz222222)cos()(由条件xxeyezyzxz222224)cos(，可知uufuf)()(4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：uueCeCuf2221)(其中21CC,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为uy41*．故非齐次方程通解为ueCeCufuu412221)(．Page7of10将初始条件0000)(',)(ff代入，可得16116121CC,．所以)(uf的表达式为ueeufuu4116116122)(．19．（本题满分10分）设函数)(),(xgxf在区间ba.上连续，且)(xf单调增加，10)(xg，证明：（1）baxaxdttgxa,,)(0；（2）badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(．【详解】（1）证明：因为10)(xg，所以baxdtdttgdxxaxaxa,)(10．即baxaxdttgxa,,)(0．（2）令xadttgaaxaduufduugufxF)()()()()(，则可知0)(aF，且xadttgafxgxgxfxF)()()()()('，因为,)(axdttgxa0且)(xf单调增加，所以)()()(xfaxafdttgafxa．从而0)()()()()()()()()('xfxgxgxfdttgafxgxgxfxFxa，bax,也是)(xF在ba,单调增加，则0)()(aFbF，即得到badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(．20．（本题满分11分）设函数101,,)(xxxxf，定义函数列)()(xfxf1，))(()(xffxf12，)),(()(,xffxfnn1设nS是曲线)(xfyn，直线01yx,所围图形的面积．求极限nnnSlim．【详解】xxxxxxxfx