2011年高考数学一轮复习专题01 集合与函数概念(教师版)

学科网2011年高考数学一轮复习资料第一章集合与函数概念第1讲集合的概念及其运算【知识精讲】1.元素和集合的关系是从属的关系，集合与集合的关系是包含的关系，二者符号表示不同.求解集合问题的关键是搞清楚集合的元素，即元素是什么，有哪些元素.2.集合的关系有子集、真子集；集合的运算有交集、并集、补集和相等.常常借助Venn图、数轴和函数图象进行有关的运算，使问题变得直观，简洁.3.空集是不含任何元素的集合，因其特殊常常容易忽略.在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论.【基础梳理】1.集合与元素（1）集合元素的三个特征：____确定性_____、___互异性_____、____无序性_____.（2）元素与集合的关系是___属于___或____不属于____关系，用符号____或_____表示.(3)集合的表示法：__列举法_____、___描述法____、___图示法____、__区间法_____.(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*（或N+）;整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为____有限集____、__无限集___、__空集_.2.集合间的基本关系(1)子集、真子集及其性质对任意的x∈A，都有x∈B，则AB（或BA）.若AB，且在B中至少有一个元素x∈B，但xA，则____（或____）.___A；A___A；AB，BCA____C.若A含有n个元素,则A的子集有__2n__个,A的非空子集有__2n-1_个,A的非空真子集有__2n-2__个.(2)集合相等若AB且BA,则___A=B____.3.集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}；交集：A∩B=___{x|x∈A且x∈B}____；补集：=__{|}xxUxA且___.U为全集，表示A相对于全集U的补集.(2)集合的运算性质并集的性质:A∪=A；A∪A=A；A∪B=B∪A；A∪B=ABA.交集的性质：A∩=；A∩A=A；A∩B=B∩A；A∩B=AAB.补集的性质：【要点解读】要点一集合的基本概念【例1】已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2}D．{y|y≥1}【命题立意】集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．【标准解析】M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D．【误区警示】①本题求M∩N，经常发生解方程组21,1.yxyx0,1,xy得1,2.xy或从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的【变式训练】集合0122xaxxA中有一正一负两个元素，求a的值.【标准解析】因为集合有两个不同元素,所以0a且440a,设两个元素分别是12,xx,因为两个元素符号相反,所以1210xxa.【技巧点拨】本题的实质是一元二次方程解的问题,解题思路有两种,一种是利用判别式和韦达定理;另一种是利用二次函数图象数形结合.【答案】由题意知,方程2210axx为一元二次方程,且有一正一负根,设两个根分别是12,xx,则由12044010aaxxa可得0a.要点二集合的关系【例2】若A={2，4,3a－22a－a＋7},B={1,a＋1,2a－2a＋2,－12(2a－3a－8),3a＋2a＋3a＋7}，且A∩B={2，5}，则实数a的值是________．【命题立意】本题考查了集合的表示，集合语言的理解、集合的运算，解一元一次、二次方程和分类讨论思想的应用.【标准解析】∵A∩B={2，5}，∴3a－22a－a＋7=5,由此求得a=2或a=±1．A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．当a=1时，2a－2a＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a=1．当a=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a=－1．当a=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．故a=2为所求．【误区警示】集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，强化对集合元素互异性的认识．【变式训练】已知集合2320Axxx,210Bxxaxa，且ABB则a的值为______．【标准解析】集合,AB都表示方程的解集，集合1,2A,是确定，有四个子集，由ABBBA而推出B有四种可能，进而求出a的值．【技巧点拨】集合B是集合A的子集，集合A的子集有四个，故B有四种情况，分别讨论即可，简易入手，思路清晰.集合B不要写成B=1,1a，因为1a可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．要点三集合的运算【例3】集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x0}，求A∪B和A∩B．【命题立意】集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解【标准解析】∵A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，B={x|x2＋3x0}={x|x－3，或x0}．如图所示，∴A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x－3，或x0}=R．A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x－3，或x0}={x|－6≤x＜－3，或0x≤1}．【误区警示】本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果．【变式训练】设全集U={x|0x10,x∈N*}，若A∩B={3}，A∩CUB={1，5，7}，CUA∩CUB={9}，则集合A、B是________．【标准解析】A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．【技巧点拨】本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出．要点四集合的应用【例4】已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R=，则实数m的取值范围是_．【命题立意】集合作为一种数学语言的工具，常用于其他章节中，并能与其综合应用.本题主要考查能否准确理解集合表示的意义.【标准解析】由A∩R=又方程x2＋(m＋2)x＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，2240,20,mm或△=(m＋2)2－40．解得m≥0或－4m0，即m－4．【误区警示】解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．【变式训练】设A={x|－2x－1，或x1}，B={x|x2＋ax＋b≤0}，已知A∪B={x|x－2}，A∩B={x|1x≤3}，求a、b的值【命题立意】可在数轴上画出图形，利用图形分析解答【标准解析】如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1x3}，才能使A∪B={x|x－2}，且A∩B={x|1x≤3}．根据二次不等式与二次方程的关系，可知－1与3是方程x2＋ax＋b=0的两根，∴a=－(－1＋3)=－2，b=(－1)×3=－3．【技巧点拨】类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果．第2讲函数的基本概念及表示【知识精讲】1.若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同,则两个函数为同一函数.2.函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数方程等，特别要注意将实际问题化归为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域，还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法，针对近几年的高考分段函数问题要引起足够的重视.3.求用解析式y=fx表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若fx是整式，则函数的定义域是实数集R；②若fx是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若fx是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若fx是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若fx是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.4.分段函数尽管在教材上没有明确的定义，但是是一个重要的函数形式，分段函数是一个函数，而不是几个函数.其图象为若干段曲线，不一定连续.【基础梳理】1.函数的基本概念（1）函数定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=fx,x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y=fx,x∈A中，x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fx|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.2.函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.3.映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.4.由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A,B必须是非空数集.【要点解读】要点五函数与映射的概念【例5】设集合{1,0,1}M，{2,1,0,1,2}N，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中对应的元素()fx的和都为奇数，则映射f的个数是（）A.8个B.12个C.16个D.18个【命题立意】主要考查学生对映射的定义的理解、推理论证能力和分类讨论思想.【标准解析】因为()xfx为奇数，所以需要给每一个元素x找到对应的元素()fx，对应的元素不同表示不同的映射，需要分类讨论.【误区警示】对映射的含义理解不准确导致错误，不会分类，【答案】∵()xfx为奇数，∴当x为奇数1、1时，它们在N中的对应的元素只能为偶数2、0或2，由分步计数原理和对应方法有239种；而当0x时，它在N中的象为奇数1或1，共有2种对应方法．故映射f的个数是9218．故选D.注：理科的同学可用上述方法，文科的同学可以一一枚举，然后查个数.【变式训练】A=｛1，2，3，4，5｝，B=｛6，7，8｝从集合A到B的映射中满足(1)f≤(2)f≤(3)f≤(4)f≤(5)f的映射有（）A.27B.9C.21D.12【标准解析】因为对应关系的存在，(1)f、(2)f、(3)f、(4)f、(5)f都必须有确定的值，并且满足“≤”的关系，要么取“小于”要么取