2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编14：导数

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编14：导数一、选择题1．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知函数32()fxxaxbxc,下列结论中错误的是（）A．0xR,0()0fxB．函数()yfx的图像是中心对称图形C．若0x是()fx的极小值点,则()fx在区间0(,)x上单调递减D．若0x是()fx的极值点,则0'()0fx【答案】C2．（2013年高考大纲卷（文））已知曲线421-128=yxaxaa在点，处切线的斜率为，（）A．9B．6C．-9D．-6【答案】D3．（2013年高考湖北卷（文））已知函数()(ln)fxxxax有两个极值点,则实数a的取值范围是（）A．(,0)B．1(0,)2C．(0,1)D．(0,)【答案】B4．（2013年高考福建卷（文））设函数)(xf的定义域为R,)0(00xx是)(xf的极大值点,以下结论一定正确的是（）A．)()(,0xfxfRxB．0x是)(xf的极小值点C．0x是)(xf的极小值点D．0x是)(xf的极小值点【答案】D5．（2013年高考安徽（文））已知函数32()fxxaxbxc有两个极值点12,xx,若112()fxxx,则关于x的方程23(())2()0fxafxb的不同实根个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】A6．（2013年高考浙江卷（文））已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是【答案】B二、填空题7．（2013年高考广东卷（文））若曲线2lnyaxx在点(1,)a处的切线平行于x轴,则a____________.【答案】128．（2013年高考江西卷（文））若曲线1yx(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________.【答案】2三、解答题9．（2013年高考浙江卷（文））已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)若|a|1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.【答案】解:(Ⅰ)当1a时,32()266(2)1624124fxxxxf,所以2()6126(2)242466fxxxf,所以()yfx在(2,(2))f处的切线方程是:46(2)680yxxy;(Ⅱ)因为22()66(1)66[(1)]6(1)()fxxaxaxaxaxxa①当1a时,(,1][,)xa时,()yfx递增,(1,)xa时,()yfx递减,所以当[0,2||]xa时,且2||2a,[0,1][,2||]xaa时,()yfx递增,(1,)xa时,()yfx递减,所以最小值是32223()23(1)63faaaaaaa;②当1a时,且2||2a,在[0,2||]xa时,(0,1)x时,()yfx递减,[1,2||]xa时,()yfx递增,所以最小值是(1)31fa;综上所述:当1a时,函数()yfx最小值是233aa;当1a时,函数()yfx最小值是31a;10．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/ADCB平方米,该蓄水池的总建造成本为12000元(为圆周率).(Ⅰ)将V表示成r的函数()Vr,并求该函数的定义域;zhangwlx(Ⅱ)讨论函数()Vr的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.zhangwlx【答案】11．（2013年高考陕西卷（文））已知函数()e,xfxxR.(Ⅰ)求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ)证明:曲线y=f(x)与曲线2112yxx有唯一公共点.(Ⅲ)设ab,比较2abf与()()fbfaba的大小,并说明理由.【答案】解:(Ⅰ)f(x)的反函数xxgln)(,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=(1)g'.1(1)g'x1(x)g'k.过点(1,0)的切线方程为:y=x+1(Ⅱ)证明曲线y=f(x)与曲线1212xxy有唯一公共点,过程如下.则令,,121121)()(22Rxxxexxxfxhx0)0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('hhhexhxhxexhxx，，且的导数因此,单调递增时当单调递减时当)('0)(''0;)('0)(''0xhyxhxxhyxhx0)(,0)0(')('xRxhyhxhy个零点上单调递增，最多有一在所以所以,曲线y=f(x)与曲线1212xxy只有唯一公共点(0,1).(证毕)(Ⅲ)设)(2)()2()()2()()(2)()(abbfabafababafbfbfafaabbaeabeabababeabeab)(2)2()2()(2)2()2(令xxxexexxgxexxxg)1(1)21(1)(',0,)2(2)(则.）上单调递增，在（的导函数0)('所以,0)11()('')('xgexexxgxgxx,且,0)0(,),0()(0)('.0)0('gxgxgg而上单调递增在，因此0)(),0(xg上所以在.,0)2(2)(0baexxxgxx且时，当0)(2)2()2(aabeabeabab所以abafbfbfaf)()(2)()(,ba时当12．（2013年高考大纲卷（文））已知函数32=331.fxxaxx(I)求2f;ax时，讨论的单调性;(II)若2,0,.xfxa时，求的取值范围【答案】(Ⅰ)当-2a时,32=-3231.fxxxx'2()3623fxxx.令'()0fx,得,121x,221x.当(,21)x时,'()0fx,()fx在(,21)是增函数;当(21,21)x时,'()0fx,()fx在(21,21)是减函数;当(21,)x时,'()0fx,()fx在(21,)是增函数;(Ⅱ)由(2)0f得,54a.当54a,(2,)x时,'2251()3(21)3(1)3()(2)022fxxaxxxxx,所以()fx在(2,)是增函数,于是当[2,)x时,()(2)0fxf.综上,a的取值范围是5[,)4.13．（2013年高考辽宁卷（文））(I)证明:当20,1sin;2xxxx时，(II)若不等式3222cosx40,12xaxxxxa对恒成立，求实数的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.【答案】14．（2013年高考四川卷（文））已知函数22,0()ln,0xxaxfxxx,其中a是实数.设11(,())Axfx,22(,())Bxfx为该函数图象上的两点,且12xx.(Ⅰ)指出函数()fx的单调区间;(Ⅱ)若函数()fx的图象在点,AB处的切线互相垂直,且20x,证明:211xx;(Ⅲ)若函数()fx的图象在点,AB处的切线重合,求a的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)函数()fx的单调减区间为)1,(,单调增区间为)0,1(,),0((Ⅱ)由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为)(1xf,点B处的切线斜率为)(2xf,故当点,AB处的切线互相垂直时,有)(1xf1)(2xf,当x0时,22)(xxf因为021xx,所以1)22()22(21xx,所以0221x,0222x,因此1)22()22()]22()22([21212112xxxxxx,(当且仅当122)22(21xx,即231x且212x时等号成立)所以函数()fx的图象在点,AB处的切线互相垂直时有211xx.(Ⅲ)当021xx或012xx时,)(1xf)(2xf,故210xx.当01x时,()fx的图象在点))(,(11xfx处的切线方程为)()22()2(11121xxxaxxy即axxxy211)22(.当02x时,()fx的图象在点))(,(22xfx处的切线方程为)(1ln222xxxxy即1ln122xxxy.两切线重合的充要条件是②①axxxx212121ln221,由①及210xx知,2102x,由①、②得1)21(411ln1)121(ln222222xxxxa,令21xt,则20t,且tttaln412设)20(ln41)(2ttttth,则023)1(1121)(2ttttth所以)20()(tth为减函数,则2ln1)2()(hth,所以2ln1a,而当)2,0(t且t趋向于0时,)(th无限增大,所以a的取值范围是),2ln1(.故当函数()fx的图象在点,AB处的切线重合时,a的取值范围是),2ln1(.15．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））己知函数f(X)=x2e-x(I)求f(x)的极小值和极大值;(II)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.【答案】16．（2013年高考北京卷（文））已知函数2()sincosfxxxxx.(Ⅰ)若曲线()yfx在点(,())afa)处与直线yb相切,求a与b的值.(Ⅱ)若曲线()yfx与直线yb有两个不同的交点,求b的取值范围.【答案】解:由2()sincosfxxxxx,得()(2cos)fxxx.(I)因为曲线()yfx在点(,())afa处与直线yb相切,所以()(2cos)0faaa()bfa,解得0a,(0)1bf.(II)令()0fx,得0x.()fx与()fx的情况如下:(,0)0(0,)()0()1xfxfx所以函数()fx在区间(,0)上单调递减,在区间(0,)上单调递增,(0)1f是()fx的最小值.当1b时,曲线()yfx与直线yb最多只有一个交点;当1b时,2(2)(2)421fbfbbb421bbb,(0)1fb,所以存在1(2,0)xb,2(0,2)xb,使得12()()fxfxb.由于函数()fx在区间(,0)和(0,)上均单调,所以当1b时曲线()yfx与直线yb有且只有两个不同交点.综上可知,如果曲线()yfx与直线yb有且只有两个不同交点,那么b的取值范围是(1,).17．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））(本小题满分共12分)已知函数2()()4xfxeaxbxx,曲线()yfx在点(0,(0))f处切线方程为44yx.(Ⅰ)求,ab的值;(Ⅱ)讨论()fx的单调性,并求()fx的极大值.【答案】121()()24.(0)4,(0)4,4,8,4;fxeaxabxffbabab（I）由已