高考数学专题 立体几何专题

专题三立体几何专题学科网【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究．学科网【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等．学科网【例题解析】学科网题型1空间几何体的三视图以及面积和体积计算学科网例1某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则ab的最大值为学科网A．22B．32C．4D．52学科网分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决．学科网解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为,,mnk，由题意得2227mnk，226mk1n，学科网21ka，21mb，所以22(1)(1)6ab学科网228ab，22222()282816abaabbabab∴4ab当且仅当2ab时取等号．学科网学科网点评：本题是高考中考查三视图的试题中难度最大的一个，我们通过移动三个试图把问题归结为长方体的一条体对角线在三个面上的射影，使问题获得了圆满的解决．学科网例2下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是学科网A．9πB．10πC．11πD．12π学科网学科网分析：想像、还原这个空间几何体的构成，利用有关的计算公式解答．学科网解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是1，母线长是3，球的半径是1，故其表面积是22213214112，答案D．学科网点评：由三视图还原空间几何体的真实形状时要注意“高平齐、宽相等、长对正”的规则．例3已知一个正三棱锥PABC的主视图如图所示，若32ACBC，学科网6PC，则此正三棱锥的全面积为_________．学科网学科网学科网分析：正三棱锥是顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心的三棱锥，根据这个主试图知道，主试图的投影方向是面对着这个正三棱锥的一条侧棱，并且和底面三角形的一条边垂直，这样就知道了这个三棱锥的各个棱长．学科网解析：这个正三棱锥的底面边长是3、高是6，故底面正三角形的中心到一个顶点的距离是233332，故这个正三棱锥的侧棱长是22363，由此知道这个正三棱锥的侧面也是边长为3的正三角形，故其全面积是2343934，答案93．学点评：由空间几何体的一个视图再加上其他条件下给出的问题，对给出的这“一个视图”要仔细辨别投影方向，这是三视图问题的核心．学科网题型2空间点、线、面位置关系的判断学科网例4已知nm,是两条不同的直线，,为两个不同的平面，有下列四个命题：学科网①若nm,，mn，则；学科网②若nmnm,//,//，则//；学科网③若nmnm,//,，则//；学科网④若//,//,nm，则nm．学科网其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______________．学科网分析：根据空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐个作出判断．学科网解析：我们借助于长方体模型解决．①中过直线,mn作平面，可以得到平面,所成的二面角为直二面角，如图（1），故①正确；②的反例如图（2）；③的反例如图（3）；④中由,m可得m，过n作平面可得n与交线g平行，由于mg，故mn．答案①④．学科网学科网点评：新课标的教材对立体几何处理的基本出发点之一就是使用长方体模型，本题就是通过这个模型中提供的空间线面位置关系解决的，在解答立体几何的选择题、填空题时合理地使用这个模型是很有帮助的．学科网例5设,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面，下列命题正确的是学科网A．若,,//mnmn，则//B．若//,//,//,mn则//mn学科网C．若,//,//mn，则mnD．若//,//,//,mnmn则//学科网分析：借助模型、根据线面位置关系的有关定理逐个进行分析判断．学科网解析：对于//，结合,//,mn则可推得mn．答案C．学科网点评：从上面几个例子可以看出，这类空间线面位置关系的判断类试题虽然形式上各异，但本质上都是以空间想象、空间线面位置关系的判定和性质定理为目标设计的，主要是考查考生的空间想象能力和对线面位置关系的判定和性质定理掌握的程度．学科网题型3空间平行与垂直关系的证明、空间几何体的有关计算（文科解答题的主要题型）例6．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E、F分别为1DD、DB的学科网中点．学科网（1）求证：EF//平面11ABCD；学科网（2）求证：1EFBC；学科网（3）求三棱锥EFCBV1的体积．学科网学科网分析：第一问就是找平行线，最明显的就是1EFBD；第二问转化为线面垂直进行证明；第三问采用三棱锥的等积变换解决．学科网解析：（1）连结1BD，如图，在BDD1中，学科网E、F分别为1DD，DB的中点，则学科网111111////EFDBDBABCDEFEFABCD平面平面平面11ABCD．学科网学科网学科网学科网（2）学科网11111111111111111,//BCABBCBCBCBDBCABCDEFBCABBCABCDEFBDBDABCDABBCB平面平面平面学科网（3）CF平面11BDDB，1CFEFB平面且2CFBF，学科网1132EFBD，222211(2)26BFBFBB，学科网222211111(22)3BEBDDE学科网∴22211EFBFBE即190EFB，学科网11113BEFCCBEFBEFVVSCF=11132EFBFCF=11362132．学科网点评：空间线面位置关系证明的基本思想是转化，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第二问是证明线线垂直，但问题不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上（或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又得借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的．立体几何中的三棱柱类似于平面几何中的三角形，可以通过“换顶点”实行等体积变换，这也是求点面距离的基本方法之一．学科网例7．在四棱锥PABCD中，90ABCACD，60BACCAD，PA平面ABCD，E为PD的中点，22PAAB．学科网（1）求四棱锥PABCD的体积V；学科网（2）若F为PC的中点，求证PC平面AEF；学科网（3）求证CE∥平面PAB．学科网学科网分析：第一问只要求出底面积和高即可；第二问的线面垂直通过线线垂直进行证明；第三问的线面平行即可以通过证明线线平行、利用线面平行的判定定理解决，也可以通过证明面面平行解决，即通过证明直线CE所在的一个平面和平面PAB的平行解决．学科网解析：（1）在ABCRt中，1,60ABBAC，∴3BC，2AC．学科网在ACDRtΔ中，2,60ACACD，∴23,4CDAD．学科网∴1122ABCDSABBCACCD115132233222．学科网则155323323V．学科网（2）∵PACA，F为PC的中点，∴AFPC．学科网∵PA平面ABCD，∴PACD，∵ACCD，PAACA，∴CD平面PAC，∴CDPC．学科网∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD，则EFCD，∵AFEFF，∴PC平面AEF．学科网（3）证法一：学科网取AD中点M，连,EMCM．则EM∥PA，∵EM平面PAB，PA平面PAB，学科网∴EM∥平面PAB．学科网在ACDRt中，60CAD，2ACAM，∴60ACM．而60BAC，∴MC∥AB．学科网∵MC平面PAB，AB平面PAB，学科网∴MC∥平面PAB．学科网∵EMMCM，∴平面EMC∥平面PAB．学科网∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网证法二：延长,DCAB，设它们交于点N，学科网连PN．∵60NACDAC，ACCD，学科网∴C为ND的中点．∵E为PD中点，∴EC∥PN．学科网∵EC平面PAB，PN平面PAB，学科网∴EC∥平面PAB．学科网点评：新课标高考对立体几何与大纲的高考有学科网了诸多的变化．一个方面增加了空间几何体的三视图、学科网表面积和体积计算，拓展了命题空间；另一方面删除了学科网三垂线定理、删除了凸多面体的概念、正多面体的概念与性质、球的性质与球面距离，删除了空间向量，这就给立体几何的试题加了诸多的枷锁，由于这个原因课标高考文科的立体几何解答题一般就是空间几何体的体积和表面积的计算、空间线面位置关系的证明（主要是平行与垂直）．题型4空间向量在立体几何中的应用例8．如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，EF、分别为11AD和1CC的中点．（1）求证：EF∥平面1ACD；（2）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；（3）在棱1BB上是否存在一点P，使得二面角PACP的大小为30?若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．【解析】解法一：如图分别以1,,DADCDD所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，由已知得0,0,0D、2,0,0A、2,2,0B、0,2,0C、12,2,2B、10,0,2D1,0,2E、、0,2,1F．（1）取1AD中点G，则1,0,1G，1,2,1CG，又1,2,1EF，由EFCG，∴EF与CG共线．从而EF∥CG，∵CG平面1ACD，EF平面1ACD，∴EF∥平面1ACD．（2）∵0,2,0AB，46cos,3||||26EFABEFABEFAB，∴异面直线EF与AB所成角的余弦值为36．（3）假设满足条件的点P存在，可设点2,2,Pt（02t），平面ACP的一个法向量为,,nxyz，则0,0.nACnAP∵0,2,APt2,2,0AC，∴220,20,xyytz取2(1,1,)nt．易知平面ABC的一个法向量1(0,0,2)BB，依题意知，1,30BBn或150，∴124||3cos,2422tBBNt，即22434(2)4tt，解得6.3t∵6(0,2]3，∴在棱1BB上存在一点P，当BP的长为63时，二面角PACB的大小为30．解法二：（1）同解法一知1,2,1EF，12,0,2AD，2,2,0AC，∴112EFACAD，∴EF、AC、1AD共面．又∵EF平面1ACD，∴EF∥平面1ACD．（2）、（3）同解法一．解法三：易知平面1ACD的一个法向量是12,2,2DB．又∵1,2,1EF，由10EFDB·，∴1EFDB，而EF平面1ACD，∴EF∥平面1ACD．（2）