5.6高考数学排列组合常见题型

第1页共11页选修2-3：排列组合常见题型可重复的排列（求幂法）重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34相邻问题（捆绑法）相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.高☆考♂资♀源€网☆【例1】,,,,ABCDE五人站成一排，如果,AB必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,AB视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A种练习：（2012辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(A)3×3！(B)3×(3！)3(C)(3！)4(D)9！【解析】：C相离问题（插空法）元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A种，再用甲乙去插6个空位有26A种，不同的排法种数是52563600AA【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法【解析】：111789AAA=504【例3】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排队模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯35C=10种方法。第2页共11页说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.【例4】3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？【解析】：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A34=24种.练习1：(2014辽宁)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24【解析】：D练习2：停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？【解析】：先排好8辆车有A88种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空车位置插入有C19种方法，所以共有C19A88种方法.练习3:某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有25A＝20种不同排法。元素分析法（位置分析法）某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。【例1】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？【解析】：老师在中间三个位置上选一个有13A种，4名同学在其余4个位置上有44A种方法；所以共有143472AA种。.练习1：有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？【解析】法一：（从元素分析）1656A3600A法二：（从位置分析）25653600AA法三：3600666677AAA第3页共11页练习2：（2010山东理）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）（A）36种（B）42种(C)48种（D）54种【解析】：B多排问题（单排法）把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。高☆考♂资♀源€网☆【例1】（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）A、36种B、120种C、720种D、1440种（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A种（2）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有24A种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A种，其余5个元素任排5个位置上有55A种，故共有1254455760AAA种排法.定序问题（缩倍法）在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.【例1】.,,,,ABCDE五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,AB可以不相邻）那么不同的排法种数是（）高☆考♂资♀源€网☆【解析】：602255AA种【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？【解析】：法一：6699AA法二：39A练习：．从1，2，3，…，9九个数字中选出三个不同的数字a，b，c，且a＜b＜c，作抛物线y＝ax2＋bx＋c，则不同的抛物线共有条（用数字作答）．【解析】：84393339CAA种第4页共11页标号排位问题（不配对问题）把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.（常用树状图）【例1】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种高☆考♂【解析】B练习：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有()（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种【解析】B【例2】编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（）A10种B20种C30种D60种【解析】B不同元素的分配问题（先分堆再分配）注意平均分堆的算法。【例1】有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？高☆考♂资♀源€网（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（3）分成每组都是2本的三个组；（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本；（5）分给5人每人至少1本。【解析】：（1）332516CCC（2）33332516ACCC（3）33222426ACCC（4）222426CCC（5）554412131426AACCCC练习：将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种【解析】：211342132236CCCAA【例3】5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（）（A）150种(B)180种(C)200种(D)280种第5页共11页【解析】：3113521322CCCAA[phone]CCCAA＝150，选A练习1：四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？【解析】：144练习2：5人到一个5层居民楼调查，每人随机选一层，且选每个楼层可能性相等，则恰好只有3个楼层有人调查，且没有被调查的2层不相邻的安排方法有多少种？【解析】（1）、先将5人分组，可分为3+1+1或2+2+1（2）、将3组排成一列，会产生4个空，对这4空选2个进行插空。即共有900)(24332211232522111235CAACCCACCC种排法。练习3：（2016合肥一模理10）某企业的4名职工参加职业技能考核,每名职工均可从4个备选考核项目中任意抽取一个参加考核,则恰有一个项目未被抽中的概率为A.916B.2764C.81256D.716【解析】169443422111224AACCCP，选A练习4：（2015合肥三模理8）某校计划高一年级四个班级开展研学旅行活动，初选了A,B,C,D四条不同路线，每个班级只能在这四条线路中选择一条，且同一线路最多只能有两个班级选择，则不同的选择方案有()A．240种B．204种C．188种D．96种【解析】答案B。选4条线路时有44A种,选3条线路时有3422111224ACCCA种,选2条线路时有24222224ACCA种.相同元素的分配问题（隔板法）【例1】：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C种.高☆考♂资♀源€网☆考♂资♀源€网☆【例2】把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17第6页共11页个球分成3份，转化为每份至少一球，运用隔板法，共有120216C种放法。练习1：（2012合肥二模理9）50台完全相同的校车发放给10所学校，每校至少2台，则不同发放方案有____种。【解析】：939C练习2：如图为73方格，每个方格均为正方形，则图中共有多少个矩形?【解析】：2428CC练习3:（1）三元一次方程10zyx所有正整数解有多少个?（2）三元一次方程10zyx所有非负整数解有多少个?【解析】：（1）29C（2）212C【例3】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？高☆考♂资♀源€网☆【解析】：1、先从4个盒子中选三个放置小球有34C种方法。2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有23C、24C、25C种方法。3、由分步计数原理可得34C23C24C25C=720种多面手问题（分类法---选定标准）【例1】：有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？【解析】：34111235244544253412454412354445CCCCCCCCCCCCCCCC☆考♂资♀源€网☆走楼梯问题（分类法与插空法相结合）【例】小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？第7页共11页【解析】：插空法解题：考虑走3级台阶的次数：1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；高☆考♂资♀源€网☆2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）；3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：（a）两次三级台阶挨着：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有166C种（b）两次三级不挨着：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有2615C种4）有3次（不可能）高☆考♂资♀源€网☆5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种125515CC走法；6）有5次（不可能）故总共有：1+6+15+15=37种。练习：欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有()（A）34种（B）55种（C）8