污水处理站的建造方案与费用分担

污水处理站的建造方案与费用分担摘要本文以厂群规划问题和N人合作对策问题为理论基础，为了确定最合理的污水处理站建造方案并进行公平的费用分担，建立了建造方案模型和费用分担模型。前者利用遗传算法求解，后者利用Shapley值法求解，依据算例并结合枚举法，可以充分证明模型的合理性。首先，本文利用Eviews软件对不同污水处理量和不同管道铺设长度的建造费用及管道铺设费用进行回归分析，结合实际经济意义，得到污水处理站建站费用的表达式为C1=78.257Q0.667，管道铺设费用的表达式为C2=0.605Q0.566L0.995。合理的污水处理站建造方案会使花费最少。本文以总费用最小为目标函数，结合各种假设条件以及图论的相关知识，对目标函数进行约束。建造方案模型实际是一个非线性、多维、多约束的最优规划模型。该类模型难以用传统的方法求解，因此，本文借助C++编程，通过遗传算法的实现对建造方案模型求解。公平的费用分担模型保证所有成员都不会吃亏，单独建站时，费用分担依据“谁建站谁出资”的原则，不会造成不公平现象。联合建站时，通过合作会使总花费小于单独建站时的总花费，他们之间的差值可以看作由联合建站得到的收益，即：将费用分担问题转化成为收益分配问题。求解各成员的Shapley值，就是分配合作产生效益的一种公平方法。从而可以得到各工厂所需要分担的费用。本文将问题二作为一个具体算例代入建立的建造费用模型，通过C++对遗传算法的实现，发现最合理的污水处理方案为：在C处建一个污水处理站，处理来自A、B、C的全部污水。所需总费用为532.44万元。因为算例中工厂数目较少，本文还采用了枚举法对结果进行检验，发现结果相同。充分证明了模型的合理性。当采用最优方案时，联合建造比单独建造节省了83.71万元，分别计算A、B、C厂的Shapley值，对合作产生的效益进行分配，然后计算三厂实际应分担的费用，结果为：A：188.36（万元）B：107.35（万元）C：263.73（万元）11.问题重述随着国民经济的快速发展和结构转型，企业在追求经济效益的同时，越来越重视环境保护问题。如何减少污染物的排放以保护环境，使经济得以稳健及可持续发展，是许多企业亟待解决的重要问题。假设沿河有若干工厂，每天都会排放一定量的污水，这些污水必须经过处理才能排入河中。通常的解决办法是建造污水处理站，将污水进行处理，使之达到排放标准后再予以排放。污水处理站可以由每个工厂单独建造，也可以几个工厂联合建造。联合建造时，处理站必须建在下游位置，上游工厂将污水通过管道送往下游的处理站集中处理。处理站的建造费用与污水处理量及铺设的管道总长度有关，附录一给出了不同污水处理量和不同管道铺设总长度的建造费用及管道铺设费用。问题一：建立适当的数学模型，给出合理的污水处理站建造方案。如果是联合建造，应给出建造费用的分担方法。问题二：若沿河从上游到下游有A，B，C三家工厂，各厂的排污量分别为4.5t/s，2.5t/s和6t/s。已知AB之间的距离为20km，BC之间的距离为40km。请用你建立的模型给出具体的污水处理站建造方案和费用分担方法。问题三：分析说明你所给方案的合理性。2.模型的假设与符号说明2.1模型的假设1、河道没有支流，即所有的工厂都在一条河道上。2、污水只能由上游往下游，工厂的污水只能自己处理或运往下游处理，不能运往上游处理。3、模型中每个工厂的位置都设有一个潜在的污水处理站，即每个工厂位置均为污水处理站的选址位置。4、污水处理站满足“全部处理或全不处理策略”[1]，即对某个排污点来说，它本身的污水加上其他排污点传输来的污水，只存在两种可能的选择：全部就地处理或者全部传输到其他排污点处理。5、模型不考虑地形因素，不考虑污水管线的管径（粗细），只考虑长度。2.2符号说明Q——————排污量L——————管道长度C——————建造总费用C1——————建站费用C2——————管道铺设费用3.问题分析23.1问题一的分析合理的污水处理站建造方案是使得总费用最小的方案。建造污水处理站的总费用和单纯建站费用及管道铺设费用有关。因此，应先根据题目提供的数据，估计建站费用和管道铺设费用的表达式。然后，利用总费用等于建站费用加所有运输管道费用的总和，写出需要求得最小值的目标函数。同时，以各种现实情况和假设条件为依据对目标函数进行约束。问题就成为一个最优规划问题。但因为该问题具有非线性、多维、多约束的特质，使用传统的方法难以满足求解这类问题的技术要求。而模拟生物进化过程的现代算法——遗传算法[2]则可以方便的得到比较好的结果。所以，在求解合理建造方案时我们采用遗传算法。选出最合理的污水建造方案后，需要对建造费用进行分担。如果没有管道运输，则总费用只包含污水处理站建站费用，应该采用“谁建立谁出资”的原则，进行费用分担。当联合建造污水处理站时，可以将问题看作n人合作对策模型[3]。此时，单纯根据使用程度按比例分担费用会造成不公平现象发生，因此我们采用计算Shapley值[4]的方法对合作建厂产生的总效益进行分配。从而得到每个工厂应该分担的费用。3.2问题二的分析问题二给出了问题一的一个具体算例。根据问题一，我们已经知道利用遗传算法对建造方案模型进行求解，利用n人合作对策模型中的Shapley值对费用分担模型进行求解。将具体数据代入模型，即可得到结果。3.3问题三的分析题目要求我们说明所给方案的合理性。我们可以根据问题二的算例，采用枚举的方法对根据模型计算出的结果进行检验。如果答案相吻合，则说明我们提供的模型是合理的。4.数据分析污水处理站的建造费用主要由两部分构成：建站费用和管道铺设费用。根据实际经济意义，排污量的多少是影响污水处理站建站费用高低的主要因素，而管道铺设费用则同时由污水处理量（排污量）和管道长度决定。4.1求解建站费用的表达式为了寻求建站费用（C1）与排污量（Q）的关系，结合附录一的数据，首先建立C1与Q的相关图：3图一：建站费用与排污量的相关图由图一可以看出，污水站建站费用的增长与排污量密切相关，结合经济意义可以确定二者之间是非线性的曲线相关关系。因此，将模型初步设定为指数函数模型和双对数模型。利用Eviews软件对模型进行回归估计，估计结果如下：(1)指数函数模型：lnC1̂=4.869+0.097Qt=(43.86)(8.32)R2=0.896F=69.23D−W=0.96(2)双对数模型：lnC1̂=4.372+0.66lnQt=(91.9)(29.43)R2=0.991F=865.94D−W=3.23两个模型的经济意义都比较合理，解释变量也都通过了t检验。从拟合优度来看，模型（2）的拟合优度好，但通过D-W检验发现，（2）模型存在一阶自相关。所以，需利用广义差分法来消除模型的自相关性。调整后的模型为：lnC1̂=4.36+0.667lnQAR(1)=−0.733t=(139.14)(45.60)t=(−2.36)R2=0.987F=235.39D−W=2.42根据D-W值检验发现已经消除了模型的自相关性。所以，建站费用的表达式为：1201602002402803203604004404800246810121416QC14C1=e4.36Q0.667=78.257Q0.6674.2求解管道铺设费用的表达式根据实际经验分析，管道越长、污水处理量越大，建造管道的成本越大，所需管道费用越多。排污量与管道长度对于管道铺设费用的影响程度可以用弹性表示。设：C2=KQαLβ其中，K为常数，α表示排污量的弹性，β表示管道长度的弹性。同样利用Eviews软件估计模型，得到的结果为：lnC2̂=−0.502+0.566lnQ+0.995lnLt=(−10.72)(14.38)(27.71)R2=0.99F=21241.09D−W=1.35可以看出该估计模型能高度拟合C2与Q、L之间的关系。且解释变量都能通过显著性检验，模型不存在自相关。所以，管道费用的表达式为：C2=e−0.502Q0.566L0.995=0.605Q0.566L0.995至此，我们得到了建站费用与管道费用的表达式：𝐂𝟏=𝟕𝟖.𝟐𝟓𝟕𝐐𝟎.𝟔𝟔𝟕（4-1）𝐂𝟐=𝟎.𝟔𝟎𝟓𝐐𝟎.𝟓𝟔𝟔𝐋𝟎.𝟗𝟗𝟓（4-2）5.模型的建立5.1建造方案模型在一条河道上，有n个工厂，每个工厂的位置就是一座潜在的污水处理厂。各工厂处建设的污水处理站处理的污水量的规模设为Qi，上游工厂可以向下游工厂建设的处理站输送需要处理的污水，传输量设为Qij。各工厂自己的排污量为qi，任意两个工厂间距离为Lij。我们所求的是，在全河道的污水处理费用(包括管道费用)最低情况下的最佳污水处理站位置和处理污水的规模的组合。可以以厂群规划模型为基础，进行思考。污水处理站的规模和位置是由Qi决定，若Qi=0，则i工厂处未建设污水处理站；若Qi≠0，则i工厂处建设一污水处理站，处理规模为Qi。同样地，若Qij=0，则工5厂i与j之间无污水传输；若Qij≠0，则工厂i与j之间有污水传输。结合式（4-1）（4-2），可以得到以下关系：①第i个工厂建立污水处理站，建站费用为：C1i=78.257Qi0.667（5-1）②污水从第i个工厂运输到第j个工厂建造的污水处理站处理，所需建立的管道的费用：C2ij=0.605Qij0.566Lij0.995（5-2）模型中的费用函数是河道内建站费用和管道费用的总和，是关于污水处理规模Qi和污水传输量Qij的函数。由(5-1)与(5-2)式，得到费用函数的表达式为C=∑C1ini=1(Qi)+∑∑C2ij(Qij)nj=1ni=1=∑78.257ni=1Qi0.667+∑∑0.605Qij0.566Lij0.995nj=1ni=1（5-3）最优的建造方案即能使C取得最小值。约束条件：1）各工厂的节点流量平衡及污水处理量和运输量的非负约束：qi+∑Qjinj=1−∑Qijni=1−Qi=0（5-4）Qi，qi，Qji，Qij≥0（5-5）2）根据假设条件中“全不处理或全不处理策略”，对任意工厂来说，它本身的污水加上其他工厂传输来的污水，只存在两种可能的选择：全部就地处理或全部传输到其他工厂建立的污水处理站处理。即不可能出现自己处理一部分，再传输一部分到其他处理站处理的情况。因此，应加上约束条件：∀i，j=1，2，……n若Qi≠0，则必有Qij=0，（5-6）3）上游的工厂排放出的污水只能自己处理或运往下游处理站处理。所以：∀Qij，i𝑗(𝑖，j=1，2，……n)（5-7）4）根据图论的思想，我们把河流上的工厂当作顶点，制作有向图，顶点有出度和入度，出度是在有向图中以某顶点为始边的条数，入度是以该顶点为终边的条数。定义6矩阵Tn×n为各顶点的出度矩阵，矩阵中各元素对应表示各工厂是否将污水传输给其他污水处理站处理。Tij={1，若Qij00，其他（5-8）对于“全部处理或全不处理策略”，任意工厂i，它本身的污水加上其他排污点传输来的污水，要么全部就地处理，要么全部传输到其他排污点处理。换言之，当i点修建污水处理站时（即Qi≠0）时，它的污水不会传输到别处（即Qij=0），全部本地处理。由图论的方式表述也就是说此时第i个顶点的出度为0（即Tij=0）。在实际情况中，同一工厂的污水一般也不可能分成几份，分别传输给几个污水站处理。换言之，每个工厂可以接受其他几个工厂的污水，但是只能传输给一个工厂或者不传输。即要求此有向图的每个顶点的入度没有特别限制，而出度仅能为0或1。参照各顶点出度矩阵，很容易得到∑Tijni=1≤1（5-9）结合约束条件（5-4）、（5-5）、（5-6）、（5-7）、（5-8）、（5-9）对目标函数（5-3）进行求解，即能得到最优的建造方案。5.2费用分担模型如果每个工厂单独建造污水处理站，那么自己的建造费用自己承担。如果多个工厂联合建造污水处理站，即为了节约总投资，产生了效益。这是一个n人合作对策问题，可以用Shapley值方法圆满的分配这个效益。从而解出每个工厂需要分担的费