2010年高考数学真题-圆锥曲线(5)

2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编第10部分:圆锥曲线（解答3）8.（2010年高考全国卷I理科21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，过点(1,0)K的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设89FAFB，求BDK的内切圆M的方程.【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想.【解析】（21）解：设11(,)Axy，22(,)Bxy，11(,)Dxy，l的方程为1(0)xmym.（Ⅱ）由①知，21212(1)(1)42xxmymym1212(1)(1)1.xxmymy因为11(1,),FAxyuur22(1,)FBxyuur，212121212(1)(1)()1484FAFBxxyyxxxxmuuruur故28849m，解得43m所以l的方程为3430,3430xyxy又由①知2214(4)4473yym故直线BD的斜率21437yy，因而直线BD的方程为3730,3730.xyxy因为KF为BKD的平分线，故可设圆心(,0)(11)Mtt，(,0)Mt到l及BD的距离分别为3131,54tt.由313154tt得19t，或9t（舍去），故圆M的半径31253tr.所以圆M的方程为2214()99xy.9．（2010年高考四川卷理科20）（本小题满分12分）已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.10．（2010年高考江苏卷试题18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922yx的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（mt,）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M),(11yx、),(22yxN，其中m0,0,021yy。（1）设动点P满足422PBPF,求点P的轨迹；（2）设31,221xx，求点T的坐标；（3）设9t,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。[解析]本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由422PBPF，得2222(2)[(3)]4,xyxy化简得92x。故所求点P的轨迹为直线92x。（2）将31,221xx分别代入椭圆方程，以及0,021yy得：M（2，53）、N（13，209）直线MTA方程为：0352303yx，即113yx，直线NTB方程为：032010393yx，即5562yx。联立方程组，解得：7103xy，所以点T的坐标为10(7,)3。（3）点T的坐标为(9,)m直线MTA方程为：03093yxm，即(3)12myx，直线NTB方程为：03093yxm，即(3)6myx。分别与椭圆15922yx联立方程组，同时考虑到123,3xx，解得：2223(80)40(,)8080mmMmm、2223(20)20(,)2020mmNmm。（方法一）当12xx时，直线MN方程为：222222222203(20)202040203(80)3(20)80208020mmyxmmmmmmmmmm令0y，解得：1x。此时必过点D（1，0）；当12xx时，直线MN方程为：1x，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。（方法二）若12xx，则由222224033608020mmmm及0m，得210m，此时直线MN的方程为1x，过点D（1，0）。若12xx，则210m，直线MD的斜率2222401080240340180MDmmmkmmm，直线ND的斜率222220102036040120NDmmmkmmm，得MDNDkk，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）。11.(2010年全国高考宁夏卷20）（本小题满分12分）设12,FF分别是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，过1F斜率为1的直线i与E相交于,AB两点，且22,,AFABBF成等差数列。（1）求E的离心率；（2）设点(0,1)p满足PAPB，求E的方程（20.）解：（I）由椭圆定义知224AFBFABa，又222ABAFBF，得43ABal的方程为yxc，其中22cab。设11,Axy，22,Bxy，则A、B两点坐标满足方程组22221yxcxyab化简的222222220abxacxacb则2222121222222,acbacxxxxabab因为直线AB斜率为1，所以AB2211212224xxxxxx得22244,3abaab故222ab所以E的离心率2222cabeaa（II）设AB的中点为00,Nxy，由（I）知212022223xxacxcab，003cyxc。由PAPB，得1PNk，即0011yx得3c，从而32,3ab故椭圆E的方程为221189xy。12．（2010年高考陕西卷理科20）（本小题满分13分）如图，椭圆C：的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,|A1B1|=,(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。解（1）由知a2+b2=7,①由知a=2c,②又b2=a2-c2③由①②③解得a2=4,b2=3,故椭圆C的方程为。（2）设A,B两点的坐标分别为（x1,y1）(x2,y2)假设使成立的直线l不存在，（1）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于P点且得[来源:学。科。网]，即m2=k2+1.∵,13．(2010年高考北京市理科19)（本小题共14分）@[e-mail]在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于13.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。（19）（共14分）@[e-mail]（I）解：因为点B与A(1,1)关于原点O对称，所以点B得坐标为(1,1).设点P的坐标为(,)xy由题意得111113yyxx化简得2234(1)xyx.故动点P的轨迹方程为2234(1)xyx（II）解法一：设点P的坐标为00(,)xy，点M，N得坐标分别为(3,)My,(3,)Ny.则直线AP的方程为0011(1)1yyxx，直线BP的方程为0011(1)1yyxx令3x得000431Myxyx，000231Nyxyx.于是PMN得面积2000020||(3)1||(3)2|1|PMNMNxyxSyyxx又直线AB的方程为0xy，||22AB，点P到直线AB的距离00||2xyd.于是PAB的面积001||||2PABSABdxy当PABPMNSS时，得20000020||(3)|||1|xyxxyx又00||0xy，所以20(3)x=20|1|x，解得05|3x。因为220034xy，所以0339y故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为533(,)39.解法二：若存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为00(,)xy则11||||sin||||sin22PAPBAPBPMPNMPN.因为sinsinAPBMPN,所以||||||||PAPNPMPB所以000|1||3||3||1|xxxx即2200(3)|1|xx，解得0x53因为220034xy，所以0339y故存在点PS使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为533(,)39.