2009考研数一真题及解析

第1页共16页2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.(1)当0x时,sinfxxax与2ln1gxxbx是等价无穷小,则()(A)11,6ab.(B)11,6ab.(C)11,6ab.(D)11,6ab.(2)如图,正方形,1,1xyxy被其对角线划分为四个区域1,2,3,4kDk,coskkDIyxdxdy,则14maxkkI()(A)1I.(B)2I.(C)3I.(D)4I.(3)设函数yfx在区间1,3上的图形为则函数0xFxftdt的图形为()(A)(B)-1-111xy1D2D3D4D第2页共16页(C)(D)(4)设有两个数列,nnab,若lim0nna,则()(A)当1nnb收敛时,1nnnab收敛.(B)当1nnb发散时,1nnnab发散.(C)当1nnb收敛时,221nnnab收敛.(D)当1nnb发散时,221nnnab发散.(5)设123,,是3维向量空间3R的一组基,则由基12311,,23到基122331,,的过渡矩阵为()(A)101220033.(B)120023103.(C)111246111246111246.(D)111222111444111666.(6)设,AB均为2阶矩阵,**,AB分别为,AB的伴随矩阵,若2,3AB,则分块矩阵OABO的伴随矩阵为()(A)**32OBAO.(B)**23OBAO.(C)**32OABO.(D)**23OABO.第3页共16页(7)设随机变量X的分布函数为10.30.72xFxx,其中x为标准正态分布的分布函数,则EX()(A)0.(B)0.3.(C)0.7.(D)1.(8)设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布0,1N,Y的概率分布为1012PYPY.记ZFz为随机变量ZXY的分布函数,则函数ZFz的间断点个数为()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设函数,fuv具有二阶连续偏导数,,zfxxy,则2zxy.(10)若二阶常系数线性齐次微分方程0yayby的通解为12xyCCxe,则非齐次方程yaybyx满足条件02,00yy的解为y.(11)已知曲线2:02Lyxx,则Lxds.(12)设222,,1xyzxyz,则2zdxdydz.(13)若3维列向量,满足2T,其中T为的转置,则矩阵T的非零特征值为.(14)设12,,,mXXX为来自二项分布总体,Bnp的简单随机样本,X和2S分别为样本均值和样本方差.若2XkS为2np的无偏估计量,则k.三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)求二元函数22(,)2lnfxyxyyy的极值.(16)(本题满分9分)设na为曲线nyx与11,2,nyxn所围成区域的面积,记11,nnSa2211nnSa,求1S与2S的值.第4页共16页(17)(本题满分11分)椭球面1S是椭圆22143xy绕x轴旋转而成,圆锥面2S是由过点4,0且与椭圆22143xy相切的直线绕x轴旋转而成.(Ⅰ)求1S及2S的方程；(Ⅱ)求1S与2S之间的立体体积.(18)(本题满分11分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数fx在,ab上连续,在(,)ab可导,则存在,ab,使得fbfafba.(Ⅱ)证明：若函数fx在0x处连续,在0,0内可导,且0limxfxA,则0f存在,且0fA.(19)(本题满分10分)计算曲面积分32222xdydzydzdxzdxdyIxyz,其中是曲面222224xyz的外侧.(20)(本题满分11分)设111111042A,1112(Ⅰ)求满足22131,AA的所有向量23,；(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量23,,证明：123,,线性无关.(21)(本题满分11分)设二次型2221231231323,,122fxxxaxaxaxxxxx(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f的规范形为2212yy,求a的值.(22)(本题满分11分)第5页共16页袋中有1个红球,2个黑球与3个白球.现有放回地从袋中取两次,每次取一个球,以,,XYZ分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(Ⅰ)求10PXZ；(Ⅱ)求二维随机变量,XY的概率分布.(23)(本题满分11分)设总体X的概率密度为2,0,()0,xxexfx其他,其中参数(0)未知,12,,,nXXX是来自总体X的简单随机样本.(Ⅰ)求参数的矩估计量；(Ⅱ)求参数的最大似然估计量.第6页共16页2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.(1)【答案】(A)【解析】sinfxxax与2ln1gxxbx是0x时的等价无穷小,则22000232000330()sinsinlimlimlim()ln(1)()sin1cossinlimlimlim36sinlim1,66xxxxxxxfxxaxxaxgxxbxxbxxaxaaxaaxbxbxbxaaxabaxb等洛洛即36ab,故排除B,C.另外,201coslim3xaaxbx存在,蕴含了1cos0aax0x,故1,a排除D.所以本题选A.(2)【答案】(A)【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.令(,)cosfxyyx,24,DD两区域关于x轴对称,(,)cos(,)fxyyxfxy,即被积函数是关于y的奇函数,所以240II；13,DD两区域关于y轴对称,(,)cos()cos(,)fxyyxyxfxy,即被积函数是关于x的偶函数,所以1(,),013(,),012cos0,2cos0.xyyxxxyyxxIyxdxdyIyxdxdy所以正确答案为(A).(3)【答案】(D)【解析】此题为定积分的应用知识考核,由()yfx的图形可以看出,其图像与x轴及y轴、0xx所围的图形的代数面积为所求函数()Fx,从而可得出下面几个方面的特征：①1,0x时,()0Fx为线性函数,单调递增；②0,1x时,()0Fx,且单调递减；第7页共16页③1,2x时,()Fx单调递增；④2,3x时,()Fx为常函数；⑤()Fx为连续函数.结合这些特点,可见正确选项为(D).(4)【答案】C【解析】解法1举反例：取1(1)nnnabn,则lim0nna,1nnb是收敛的,但111nnnnabn发散,排除(A)；取1nnabn,则lim0nna,1nnb是发散的,但2111nnnnabn收敛,排除(B)；取1nnabn,则lim0nna,1nnb是发散的,但224111nnnnabn收敛,排除(D),故答案为(C).解法2因为lim0,nna则由定义可知1,N使得1nN时,有1na；又因为1nnb收敛,可得lim0,nnb则由定义可知2,N使得2nN时,有1nb,从而,当12nNN时,有22nnnabb,则由正项级数的比较判别法可知221nnnab收敛.(5)【答案】(A)【解析】根据过渡矩阵的定义,知由基12311,,23到122331,,的过渡矩阵M满足：12233112312311,,,,2310111,,220,23033M所以此题选(A).(6)【答案】(B)【解析】分块矩阵OABO的行列式221236OAABBO（）,第8页共16页即分块矩阵可逆,且1116112366.1132OAOAOAOBBOBOBOAOOBOBBOBAOAOAOA故答案为(B).(7)【答案】(C)【解析】因为10.30.72xFxx,所以0.710.322xFxx,因此,10.30.352xEXxFxdxxxdx10.30.352xxxdxxdx.由于x为标准正态分布的分布函数,所以0xxdx,11221222222,xxxdxuuuduuuduudu10.30.3500.3520.72xEXxxdxxdx.(8)【答案】(B)【解析】(){}{0}{0}{1}{1}11{0}{1}2211{00}{1},22ZFzPXYzPXYzYPYPXYzYPYPXYzYPXYzYPXzYPXzY第9页共16页由于,XY相互独立,所以11(){0}{}22ZFzPXzPXz.(1)当0z时,1()()2ZFzz；(2)当0z时,11()()22ZFzz,因此,0z为间断点,故选(B).二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9)【答案】12222xffxyf【解析】12zffyx,21222212222zxffyxfxffxyfxy.(10)【答案】(1)2xxe【解析】由常系数线性齐次微分方程0yayby的通解为12xyCCxe可知1xye,2xyxe为其两个线性无关的解,代入齐次方程,有111222(1)010,[2(1)]020,xxyaybyabeabyaybyaabxea从而可见2,1ab,非齐次微分方程为2yyyx.设特解*yAxB,代入非齐次微分方程,得2AAxBx,即11(2)202AAAxABxABB所以特解*2yx,通解122xyCCxex.把02,00yy代入通解,得120,1CC.所以所求解为2(1)2xxyxexxe.(11)【答案】136【解析】由题意可知,2,02yxx,则第10页共