波动方程及其求解

数学文化课程报告交变电磁场中的波动方程及其求解成绩________________________交变电磁场中的波动方程及其求解李太和1【摘要】利用麦克斯韦方程推导出交变电磁场中的波动方程。当电磁场的空间分布从均匀向不均匀变化时，考虑的变量增多，需要用空间中以该点为球心的球面上的平均值来代替该点初始值，然后将问题转化为我们之前熟悉的一维波动方程，利用行波法求解问题。1李太和地物1401学号：1401030104联系电话：178542271321【关键词】麦克斯韦方程组平均值行波法坐标变换在21世纪中，电磁波扮演着至关重要的角色，从移动设备的通信，到卫星的信号传播，都借助于对电磁波的深入了解。所以了解空间中电磁波在传播过程中是怎样分布的就显得很重要了。一、无限域交变电磁场波动方程的建立j=0=0在介质无耗、均匀且各向同性的无源区域（）由麦克斯韦方程组414=10044DEHjjcctcctBHEctctBHHDEE即：即j=0=0又得(1)(2)0(3)0(4)EHctHEctHE2EHct对方程（）两边取旋度有22()EEEEEHct22220(5)EEct22220(6)HHct同理可得256?   EHcv（）（）为关于场量与的矢量波动方程，表示时变电磁场以波的形式在空间存在和传播，其波速222222222222222222222222222000xxxxyyyyzzzzEEEExyzctEEEExyzctEEEExzEyct在直角坐标系中，对的矢量波动方程可为三个标量波动方程上述三式符合三维波动方程的表达式，下面对一般的三维无限空间的波动方程进行求解，即求解下列问题：2222222220010(),,,,0(,,)-,,(,,),-,,ttuuuuaxyzttxyzuxyzxyzuxyzxyzt，二、波动方程的求解对于偏微分方程2222222220010(),,,,0(,,)-,,(,,),-,,ttuuuuaxyzttxyzuxyzxyzuxyzxyzt，为简化计算我们不去考虑波函数本身，而是考虑u在以M(x,y,z)为球心，以r为半径的球面上的平均值，则这个平均值当x,y,z暂时固定之后就只与r,t有关3这样就启发我们先引入一个函数u(,)rt，它是函数u(x,y,z,t)在以点M(x,y,z)为中心、以r为半径的球面rMS上的平均值，即21u(,,,)4MrSutdSr（r,t）=11111(,,,)4oSuxrxyryzrztd=其中111=,,xrxyryzrz是球面rMS上点的坐标，01S是以原点为中心的单位球面，d是单位球面上的面积元素，dS是rMS上的面积元素，显然2drd.S在球面直角坐标系，111sincos,sinsin,cos,sin.xyzddd由u(x,y,z)的连续性可知，当r0时，r0(,)(,)limurtuMt，即(0,)(,)utuMt此处的u(M,t)表示函数在M点及时刻t的值.下面推导u(,)rt的微分方程下式中rMV表示rMS所围成的的球体'''(,,)xyz表示在rMV流动点的坐标，并应用高斯定理得2'''2'''2'''2'''22222(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)()MMrrVVuxyztuxyztuxyztuxyztdVadVtxyz'''''''''2''''''(,,,)(,,,)(,,,)()()()MrVuxyztuxyztuxyztadVxxyyzz2(,,,)MrSutadSn122111(,,,)oSuxrxyryzrytardn22(,)4urtarrn表示rMS的外法向矢量.1221112(,,,)oSuxrxyryzrytrdt422(,)4()urtarrr或222222(,)(,)()urtaurtrtrrr但222221(,)1((,))()urtrurtrrrrrr故得22222((,))((,))rurtrurtatr1212ruru(,)()(),,rtfratfratff这是一个关于的一维波动方程，由行波法，其通解为：其中是两个连续可微的任意函数.下面的问题是由初始条件来确定原来柯西问题的解120''120()()(,),()()((,)).ttfrfrrurtafrafrrurtt但0010(,)(),((,))(),ttrurtrrrurtrrt0101r(),()(,,),(,,)MrrxyzxyzS其中分别是在球面上的平均值.所以，可得120''121()()r(),()()=()frfrrrfrfrra由此可解得1010201011()()(),211()()(),2rrfrrrrdCafrrrrdCa所以001()()()()1u(,)().22ratratratratratratrtdrar5此外还可利用2221232311(,)((),(),(),)4urtuxryrzrtd22212312311(,,,)4uxryrzrtd将u(,)rt拓广到r0的范围内，并比较上面两式可知(,)urt=u(,)rt，即u(,)rt是r的偶函数，同理0r（）和1()r也是偶函数，注意到这些后可将u(,)rt写成下列形式001()()-()()1u(,)()22ratratratratatratrrtdrar令r0并利用洛必达法则得到'001012200022100(0,)()()()1()()()(sincos,sinsin,cos)1.()sin4(sincos,sinsin,cos).()sin,4utatatattatatattatatxatyatzatatddatxatyatzattatddat或简记为''01()()11u(M,t)=44MMatatSSMMdSdSatataat三、实例应用假设x()EE,0,0且xE满足以下条件2222x222200(),,,,0sin-,,0,-,,xxxxtxtEEEEcxyzttxyzEzxyzExyzt，代入公式得622x00221sin(cos)(,,).()sin4azatExyzatddatatc式中经计算得ccos().sinxEtz当-8c=10时1.xE随t与z变换的图像如下所示：2.在某时刻xE与z的波形图如下：73.用matlabR2014a绘制波形随时间变化的动态图代码如下clearfort=0:10^-10:10*10^-8x=0:0.001:20;u=cos(10^8*t)*sin(x);plot(x,u,'r')axis([-inf,inf,-1,1]);set(gca,'YTick',[-1:0.5:1])xlabel('z')ylabel('Ex')pause(0.02);end参考文献王元明编.《数学物理方程与特殊函数》.第三版金绩祖编.《场论》8关于数学文化课的建议：1、数学文化课对于提高同学们的数学素养与理性思维方面具有一定的作用，建议学校可以一直开设这样一门课。2、在课程形式方面可以更加的多样化，适当减少一些理论方面的教学，增加一些同学们的自由讨论，让同学们有更多的机会各抒己见。有利于师生之间的交流。3、课程的内容可以更加的广泛，减少对一些专业性太强的数学知识的讲解。