北师大版八年级数学上册第一章单元测试卷含答案

第一章单元测试卷(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.已知△ABC的三边长分别是3cm，4cm，5cm，则△ABC的面积是(A)A．6cm2B．7.5cm2C．10cm2D．12cm22.如图，字母B所代表的正方形的面积是(C)A．12B．13C．144D．1943.三角形的三条边长分别为a，b，c，且(a＋b)2＝c2＋2ab，则这个三角形是(C)A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形4.已知一直角三角形木板，三边的平方和为1800，则斜边长为(B)A．80B．30C．90D．1205.下列结论中不正确的是(C)A．三个内角之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形B．三条边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C．三条边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形D．三个内角之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形6.如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸(AEDE)剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，则剪去的直角三角形的斜边BC长为(D)A．5cmB．12cmC．16cmD．20cm错误!错误!,第7题图)错误!,第8题图)错误!,第9题图)7.如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长25m，高7m的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为3m，则共需购买红地毯(C)A．21m2B．75m2C．93m2D．96m28.如图，已知长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为(C)A．3B．4C．5D．69.如图，在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC＝5，AD＝6，BD＝10，CD＝5，那么三角形ABC的面积是(B)A．30B．36C．72D．12510.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是(C)A．42B．32C．42或32D．30或35二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11.在Rt△ABC中，∠C＝90°.若b＝8，c＝17，则S△ABC＝60.12.在△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，BC边上的中线AD＝4cm，则∠ADC的度数是90°.13.如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为85.,第13题图),第14题图),第16题图)14.如图，已知长方形ABCD，AB＝3cm，AD＝4cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为78cm.15.李明从家出发向正北方走了1200m，接着向正东方向走到离家2000m的地方，则李明向正东方向走了1600m.16.如图，一块砖的宽AN＝5cm，长ND＝10cm，CD上的点B距地面的高BD＝8cm.地面上A处的一只蚂蚁要到B处吃食，需要爬行的最短路径是17cm.三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求AB的长和△ABC的周长．解：由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝52，所以AB＝5，△ABC的周长是AC＋BC＋AB＝3＋4＋5＝1218.如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P，求证：BM2＝AP2＋BC2＋PM2.证明：因为BM2＝BC2＋CM2，CM＝AM，所以BM2＝BC2＋AM2.又AM2＝AP2＋PM2，所以BM2＝BC2＋AP2＋PM219.如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．解：因为AD为BC边上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，AB＝20，AD＝12，所以BD2＝AB2－AD2，即BD＝16，在Rt△ADC中，AC＝15，AD＝12，所以DC2＝AC2－AD2，即DC＝9，所以BC＝25，所以△ABC的周长是60四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)20.如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24.(1)证明：△ABC是直角三角形．(2)请求图中阴影部分的面积．解：(1)因为在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，所以AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝100，所以AC＝10.在△ABC中，因为AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676，所以AC2＋BC2＝AB2，所以△ABC为直角三角形(2)S阴影＝S△ABC－S△ACD＝12×10×24－12×8×6＝9621.如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明到河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．解：因为AB＝60，BC＝80，AC＝100，所以AB2＋BC2＝AC2，∠ABC＝90°.因为AD∥NM，所以∠NBA＝∠BAD＝30°，所以∠MBC＝180°－90°－30°＝60°，所以小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的22.学校要征收一块土地，形状如图所示，∠B＝∠D＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，土地价格为1000元/平方米，请你计算学校征收这块地需要多少元？解：连接AC，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝20，BC＝15.由勾股定理得：AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625.在△ADC中，∠D＝90°，CD＝7，由勾股定理得：AD2＝AC2－CD2＝625－72＝576，AD＝24，所以四边形的面积为12AB·BC＋12CD·AD＝234(平方米)，234×1000＝234000(元)，所以学校征收这块地需要234000元五、解答题(三)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)23.如图，△ABC的面积为84，BC＝21，现将△ABC沿直线BC向右平移a(0＜a＜21)个单位到△DEF的位置．(1)求BC边上的高；(2)若AB＝10，①求线段DF的长；②连接AE，当△ABE时等腰三角形时，求a的值．解：(1)作AM⊥BC于M，因为△ABC的面积为84，所以12BC·AM＝84，解得AM＝8，即BC边上的高为8(2)①在Rt△ABM中，BM2＝AB2－AM2，所以BM＝6，所以CM＝BC－BM＝15，在Rt△ACM中，AC2＝AM2＋CM2，所以AC＝17，由平移的性质可知，DF＝AC＝17；②当AB＝BE＝10时，a＝BE＝10；当AB＝AE＝10时，BE＝2BM＝12，则a＝BE＝12；当EA＝EB＝a时，ME＝a－6，在Rt△AME中，AM2＋ME2＝AE2，即82＋(a－6)2＝a2，解得a＝253，则当△ABE时等腰三角形时，a的值为10或12或25324.我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．(1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是12(9－1)，12(9＋1)；勾是五时，股和弦的算式分别是12(25－1)，12(25＋1)．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；(2)根据(1)的规律，请用含n(n为奇数，且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系(请写出两种)，并对其中一种猜想加以证明；(3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m(m为偶数，且m＞4)的代数式来表示股和弦．解：(1)12(72－1)，12(72＋1)(2)当n≥3，且n为奇数时，勾、股、弦分别为：n，12(n2－1)，12(n2＋1)，它们之间的关系为：①弦－股＝1，②勾2＋股2＝弦2，如证明①，弦－股＝12(n2＋1)－12(n2－1)＝12n2＋12－12n2＋12＝1(3)当m4，且m为偶数时，股、弦分别为：(m2)2－1，(m2)2＋125.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E是直线AB上两点．∠DCE＝45°.(1)当CE⊥AB时，点D与点A重合，求证：DE2＝AD2＋BE2；(2)当点D不与点A重合时，求证：DE2＝AD2＋BE2；(3)当点D在BA的延长线上时，(2)中的结论是否成立？画出图形，说明理由．解：(1)因为CE⊥AB，所以AE＝BE，因为点D与点A重合，所以AD＝0，所以DE2＝AD2＋BE2(2)如图①，过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF，因为在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，所以∠CAB＝∠B＝45°，所以∠FAC＝45°，所以△CAF≌△CBE(SAS)，所以CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，因为∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，所以∠ACD＋∠BCE＝∠ACB－∠DCE＝90°－45°＝45°，因为∠ACF＝∠BCE，所以∠ACD＋∠ACF＝45°，即∠DCF＝45°，所以∠DCF＝∠DCE，又因为CD＝CD，所以△CDF≌△CDE(SAS)，所以DF＝DE，因为AD2＋AF2＝DF2，所以AD2＋BE2＝DE2(3)结论仍然成立．理由：如图②，过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF，因为在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，所以∠CAB＝∠B＝45°，所以∠FAC＝45°，所以△CAF≌△CBE(SAS)，所以CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，因为∠BCE＋∠ACE＝90°，所以∠ACF＋∠ACE＝90°，即∠FCE＝90°，因为∠DCE＝45°，所以∠DCF＝45°，所以∠DCF＝∠DCE，又因为CD＝CD，所以△CDF≌△CDE(SAS)，所以DF＝DE，因为AD2＋AF2＝DF2，所以AD2＋BE2＝DE2