10-7-一阶常系数线性差分方程

一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解第七节一阶常系数线性差分方程三、小结一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式12.21次线性差分方程所对应的一阶常系数齐为注：)0(01为常数aayyxx)(1xfayyxx)00(xfa为常数，一.一阶常系数齐次线性差分方程的求解迭代法.1)0(01为常数aayyxx1）依次可得，为已知，由方程（设10y01ayy0212yaayy0323yaayy.100xxxxCaYCyyay通解为）的方程（为任意常数，于是差分满足差分方程，令容易验证，01yaayyxxx.0211的通解求例xxyy解21a.21xxCY差分方程的通解为特征根法.2)0(01为常数aayyxx1）变形为方程（1)0(01为常数ayayxx.1函数的形式一定为某一指数可以看出，根据xxxy）得，代入（设1)0(xxy01xxa0a即a＝特征方程特征根）的一个解，是（于是1xxay.1）的通解是（从而xxCay.1的通解用特征根法求例解012特征方程.21xxCY差分方程的通解为21特征根.203201的特解满足求例yyyxx解；差分方程的通解为xxCY31031xxyy原方程可改写为013特征方程为31特征根220Cy，得代入.312xxY所求差分方程的特解为二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解.xxYy分方程的通解另一项是对应的齐次差，解一项是该方程的一个特的和组成：差分方程的通解由两项一阶常系数非齐次线性.2xxxyYy）的通解为即差分方程（2)(1xfayyxx)00(xfa为常数，即可求出特解．求出待定系数程然后将它们代入差分方相同的形式与假定待定的特解待定系数法,.)(xfyx.较为方便解采用待定系数法求其特时，是某些特殊形式的函数当右端xyxf:的求法下面讨论特解xy型xpxfn)(为方程2xpayynxx1xpyaynxx1即是它的解，代入上式得设xyxpyaynxx1.1次多项式是次多项式，是且也应该是多项式，是多项式，因此由于nynyyxpxxxn1、(1)101()nnxnnyQxbxbxb令011a不是特征方程的根，即(2)101()nnxnnyxQxxbxbxb令011a是特征方程的根，即综上讨论，设)(xQxynkx0111k不是特征方程的根是特征方程的根解.32321的通解求差分方程例xyyxx对应齐次方程通解特征方程，02特征根，2xxCY2不是特征方程的根，1，设CBxAxyx2代入方程,得963CBA，，9632xxyx于是原方程通解为.96322xxCyxx例4求差分方程37,3501yyyxx的特解．解,543xxCy方程的通解为12374337370Cy代入，则将.4351237xxy故方程的特解对应齐次方程通解xxCY5不是特征方程的根，1，设Ayx代入方程,得，43A解.44Cxyx方程的通解为.1简单的方式求解这类方程可用另一种较是特征方程的根，.235231的通解求差分方程例xxxyyxx，右边为方程左边为xy2323223xxxxxx21xxx3x3xyx故型xpxfnx)(2、101，1类型102，xxxzy设代入方程得为方程2xpayynxxx1xpzaznxxxxx11xpazznxxx1，即得消去1类型.xxxzy于是例6求差分方程xxxyy21的通解．，于是xxy231.1231xxxCy所求通解为解对应齐次方程通解特征方程，01特征根，1xxCY1，原方程化为设xxxzy2121xxzz，求得其特解为31xz解对应齐次方程通解特征方程，0a特征根，axxaCY，原方程化为设xxxzy2121xxazz.271的通解求例xxxayy2121xxzaz即时是特征方程的根，即211a；特解xzx21时不是特征方程的根，即212a；特解azx21；于是22212221aaaxyxxx.22212221aaCaaxCayxxxxx即通解xbxbayyxxsincos211差分方程为(1)时当0sin)(cos22aD，为待定系数令),(sincos2121BBxBxByx代入原方程得到11sin)(cos2bBaB221)(cossinbaBB型xbxbxfsincos)(21※3.sin)(cos1211babDB解方程组得sin)(cos1122babDBxBxBAayxxsincos21通解为(2))sincos(021xBxBxyDx时，令当代入原方程得xbxbxBBxBBaxBBxBBasincossin)sincos(]sin)[(coscos)sincos(]sin)[(cos2112122121的充要条件为注意到0D1)12(12,0sin0cosakaka或即得为整数，将上式代入其中k22112211,,bBbBbBbB或，故得方程的通解为或由于11aaxkbxkbAyxkbxkbxAytxx)12sin()12cos()1()2sin2cos(2121或8例)3cos3cos(.3sin.3cos3sin.3cos.3sin421211xBxBxDxBCxBxBBxBAxyyxx的特解形式为解.,03sin)13(cos,22BDB故取但是或显然，只能取解例9求差分方程xyyxx2cos51的通解．xxAy5对应齐次方程的通解,0,2sin2cos21DxBxByx且又设05152121BBBB代入原方程为1251,2626BB解之得到xxAyxx2sin2612cos2655所求通解为三、小结1.一阶常系数齐次线性差分方程求通解（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）写出通解.2.一阶常系数非齐次线性差分方程求通解型xpxfn)(型xpxfnx)(练习题)1(124)4(),2(2)3(),37(35)2(,1333)1(102101011yxxyyyyyyyyxyyxxxxxxxxxx解及特解．、求下列差分方程的通练习题答案.)4(1251615225112536;)4(5225112536)4(;)1(35231,)1(231)3(;5123743,543)2(;)31(3)432()1()1.(122xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyAxxyyAyyAyxAy