第三章-误差的合成与分配-(全)

1第三章误差的合成与分配第一节函数误差第二节随机误差的合成第三节系统误差的合成第四节系统误差与随机误差的合成第五节误差分配第六节微小误差取舍准则第七节最佳测量方案的确定2任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各环节一系列误差因素共同作用的结果。正确分析与综合这些误差因素，并正确地表述这些误差的综合影响。第一节函数误差间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。3在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：12(,,...,)nyfxxx式中：——各个直接测量值；12,,...,nxxxy——间接测量值。函数增量为：1212...nnfffdydxdxdxxxx若已知各直接测量值的系统误差，由于这些误差较小，可用来代替上式中的微分量，得：12,,...,nxxx1212...nnfffyxxxxxx（函数系统误差公式）式中：为各个直接测量值的误差传递系数。(1,2,...,)ifxin一.函数系统误差的计算4有些情况下，函数公式较简单，如：则：，误差传递系数为常数。1122...,nnyaxaxax1122...nnyaxaxaxia在间接测量中，常遇到角度测量，以等形式出现。sin,cos,tan,cot以正弦三角函数为例：三角函数的系统误差：12sin(,,...,)nfxxx1212sin...nnfffxxxxxx对正弦函数微分：sincosddsincosdd以系统误差代替微分量或sincos1212...nnfffyxxxxxx5代入即得正弦函数的角度系统误差公式为：1211211(...)coscosnniiniffffxxxxxxxx同理可得其他三角函数的角度系统误差公式：对于，角度系统误差为：12cos(,,...,)nfxxx11sinniiifxx对于，角度系统误差为：12tan(,,...,)nfxxx对于，角度系统误差为：12cot(,,...,)nfxxx21cosniiifxx21sinniiifxxP56-57：例3-1；3-26二.函数随机误差计算函数随机误差计算：就是研究函数的标准差与各测量值的标准差之间的关系。y12,,xx...,nx函数一般形式：12(,,...,)nyfxxx假设对各测量值皆进行N次等精度测量，其相应的随机误差为：对：对：对：1x2xnx11121,,...,Nxxx21222,,...,Nxxx…12,,...,nnnNxxx随机误差标准差取值的分散程度函数的随机误差取值的分散程度标准差以各测量值的随机误差δx1,δx2,……..Δxn代替dx1,dx2,…dxn只能得到函数的随机误差δy,得不到σy711121112...nnfffyxxxxxx21222212...nnfffyxxxxxx…1212...NNNnNnfffyxxxxxx则的随机误差为：y将上式各方程平方后再相加得：222222212111211...(...)NNfyyyxxxx2222212222(...)Nfxxxx222212...(...)nnnNnfxxxx112()nNimjmijmijffxxxx8将上式各项除以N得：1222222221112...2()nNimjmnmyxxxijnijxxfffffxxxxxN定义：1NimjmmijxxKNijijijxxK或ijijijxxK可得：122222222112...2()nijnyxxxijxxijnijfffffxxxxx该式即为函数随机误差公式，其中为第个测量值和第个测量值之间的误差相关系数,为各测量值的误差传递系数。ijijifx9若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时，有：0ij10NimjmmijxxKN则误差公式变为：12222222212...nyxxxnfffxxx1222222212...nyxxxnfffxxx令iifax1122222222...nnyxxxaaa（较常使用）122222222112...2()nijnyxxxijxxijnijfffffxxxxx10当各个测量值的随机误差为正态分布时，上式中的标准差用极限误差代替，得函数的极限误差公式：12222222lim1lim2limlim...nyxxnxaaa通常，且函数形式较简单，即1ia12...nyxxx则函数标准差为：12222...nyxxx函数的极限误差为：12222limlimlimlim...nyxxx极限误差的定义：？1122222222...nnyxxxaaa11那么，三角函数的标准差公式？假设三角函数的标准差为，各测量值的标准差为12,,...,nxxx可得相应的角度标准差公式。（1）对于有：12sin(,,...,),nfxxx12222222121...cosnxxxnfffxxx（2）对于有：12cos(,,...,),nfxxx12222222121...sinnxxxnfffxxx1212222222212cos...nxxxnfffxxx12222222212sin...nxxxnfffxxx（4）对于有：12cot(,,...,),nfxxx（3）对于有：12tan(,,...,),nfxxx13三.误差间的相关关系和相关系数1.误差间的线性相关关系即线性依赖关系，有强弱之分。2.相关系数当两误差间有线性关系时，其相关性强弱由相关系数来反映，所以在误差合成时，先求得相关系数再计算出相关项大小。由相关系数定义知：D式中：——误差间的协方差；——两误差的标准差。D,14由概率论知：1101当时，正相关；10当时，负相关；当时，完全正相关；1当时，完全负相关；1当时，线性无关。0注意：只能表示两误差间的线性关系的密切程度，当很小甚至等于0时，两误差间不存在线性关系，但并不表示不存在其他函数关系。3.确定的几种方法（1）直接判断法；根据误差可能有无联系、或联系强弱确定D15用多组测量的对应值作图，并与图3－3（标准图）相比较，从而确定相关系数的近似值。(,)ii（3）简单计算法：将多组测量的对应值在平面坐标上作图。(,)ii1341cos()iinnn（2）观察法：16（5）理论计算法：有些误差的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求的。（4）直接计算法：根据定义22()()()()iiii22()()(,)()()ikijkjkijikijkjkkxxxxxxxxxx17第二节随机误差的合成随机误差的合成：常采用标准差方和根的方法，同时要考虑各误差的传递系数和误差间的相关性影响。一.标准差的合成设有q个单项随机误差，其标准差分别为，其相应的传递系数为。根据方和根的运算方法，各标准差合成后的总标准差为：12,,...,q12,,...,qaaa211()2qqiiijijijiijaaa优点：简单方便，且不考虑各单项随机误差的概率分布。随机误差具有随机性，其取值不可预知，用测量的标准差或极限误差表征其取值的分散程度。18方和根法合成的总极限误差为：211()2qqiiijijijiijaaa式中：——各极限误差传递系数；——任意两误差间的相关系数。iaij但一般情况下，各单项极限误差的置信概率可能不相同，不能按上式进行极限误差合成。应根据各单项误差的分布情况引入置信系数，先将误差转换为标准差，再按极限误差合成。二.极限误差的合成若已知各单项极限误差为，且置信概率相同，则按12,,...,q19单项极限误差为：iiit1,2,...,iq式中：——个单项误差的标准差；——各单项极限误差的置信系数。iit总的极限误差为：t将总标准差公式代入上式得：211()2qqiiijijijiijtaaa211()2qqjiiiijijiijiijataatttiiit上式即为一般的极限误差合成公式。优点：具有明确的概率意义。注意：公式中的各个置信系数不仅与置信概率有关，且与随机误差的分布有关。20当各个单项随机误差均服从正态分布时，公式中的各置信系数完全相同，即：，则公式变为：12...qtttt211()2qqiiijijijiijaaa一般情况下，，则极限误差合成公式变为：0ij21()qiiia（较常使用）211()2qqjiiiijijiijiijataattt21第三节系统误差的合成系统误差的大小是评定测量准确度高低的标志。系统误差具有确定的变化规律。已定系统误差和未定系统误差。标准差期望值均值某次测得值奇异值fx()_33+22一.已定系统误差的合成误差大小与方向均已确切掌握了的系统误差。对于已定系统误差常按代数和的方法计算其合成误差。若在测量过程中，有r个单项已定系统误差，其误差值分别为，相应的误差传递系数为，则按代数和法合成的总的已定系统误差为：1,2,...,r12,,...,raaa在实际测量中，已定系统误差应用修正值去消除。若由于某种原因未被消除，则应用代数和法合成。一般情况下，最后测量结果不应含有已定系统误差。1riiia23二.未定系统误差定义：未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，而只能或只需估计出其不致超过某一极限范围的系统误差。ie1.未定系统误差的特征及其评定未定系统误差在测量条件不变时有一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而不具有抵偿性。所以利用算术平均值法不能减少它对测量结果的影响。这是它与随机误差的重要差别。但当测量条件改变时，由于未定系统误差的取值在某一极限范围内具有随机性，并服从一定的概率分布，这与随机误差相似，所以也可采用标准差或极限误差来表征未定系统误差取值的分散程度。24对于某一单项未定系统误差，其概率分布取决于该误差源变化时所引起的系统误差的变化规律。现在对未定系统误差的概率分布均根据测量实际情况的分析和判断来确定的，并采用两种假设：一是按正态分布处理，一是按均匀分布处理。对某一单