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1、参数分离虽巧,分类讨论不笨一遇到对于某个变量恒成立,求参数取值范围的问题,同学们总是想到参数分离法,即将参数移到一边,变量移到另一边,然后应用这样的结论:maxminafxafxafxafx或恒成立或,转化为求函数fx在某个区间的最值问题。这方法虽巧,它直接明了,击中要害,但对于复杂的函数求最值,就遇到了困难,那我们就应该转换思路,用另一种方法——分类讨论法来解决,它也不笨。下面举几道高考题说明。例1、(2006年全国卷Ⅱ)设函数1ln1fxxx,若对所有的0x都有fxax成立,求a的取值范围。分析:有大部分同学立刻想到分离参数,即转化为1ln(1xxax)恒成立,应用函数的导数求最小值。但遇到极值点求不出陷入困境,解不下去。如果移项转化为0fxax恒成立,再应用导数,对a进行讨论就简单了。解:1ln(1)fxaxxxax令Fx,则'ln11Fxxa(1)若1a则0ln111xxln110xa恒成立,所以Fx在0,上是增函。
2、数,即000FxFfxaxffxax(2)若1a则由'1'101;011aaFxxeFxxe,故当0x时0FxF不恒成立即fxax不恒成立。综合(1)、(2),所以a的取值范围是1a。例2、(2007年全国卷ⅰ理)设函数xxfxee(1)求证'2fx;(2)若对所有的0x都有fxax,求a的取值范围。分析:(1)略(2)由于0x成立,当0x时fxaxfxax,然后对fxx求导,再求最值,这是最容易想到的方法,但解方程有困难;如果移项对a进行讨论,就豁然开朗了。解:(2)令Fxfxax则''xxFxfxaeea0,2xxxee①当2a时'0Fx即Fx在0,上为增函数,故0FxF又00F所以fxax恒成立;②当2a时Fx在0,上有增有减,0FxF不恒成立即fxax不成立。综合以上可得:a的取值范围是2a。例3、(2010年新课标全国卷)设函数。
3、21xfxxeax(1)12a,求fx的单调区间;(2)当0x时0fx,求a的取值范围。分析:(1)略(2)0x时显然成立,当0x时0fx1xeax对右边求导,求极值但遇到了困难,如果应用分类讨论就迎刃而解了。解:当0x时0fx10xeax,令1xFxeax则'xFxea,01xxe①当1a时'0Fx即Fx在0,上是增函数,则0FxF又00F即0Fx也即0fx恒成立。②当1a时由''0ln;00lnFxxaFxxa也即Fx在0,上有增有减,0Fx不恒成立,0fx也就不恒成立。综上a的取值范围是1a总结:在解决实际问题时,我们总喜欢找点技巧很快解决,但有时事与愿违寸步难行,由此还是规劝同学要从最基本常用的方法考虑,不能总怕烦,有时可能并不烦,还有意想不到的效果呢!下面给出两道供大家练习:1、已知函数1xfxeax(aR且a为常数)若对所有的0x都有fxfx,求a的取值范围。2、已知函数。
4、22lnfxxx,若212fxbxx在0,1x内恒成立,求b的取值范围。答案:1、1a2、11b107.(全国Ⅰ理21)已知函数ln()1axbfxxx,曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy。(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)如果当0x,且1x时,ln()1xkfxxx,求k的取值范围。解:(Ⅰ)221(ln)'()(1)xxbxfxxx,由于直线230xy的斜率为12,且过点(1,1),故(1)1,1'(1),2ff即1,1,22bab解得1a,1b。(Ⅱ)由(Ⅰ)知ln1f()1xxxx,所以22ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxfxxxxxx。考虑函数()2lnhxx2(1)(1)kxx(0)x,则22(1)(1)2'()kxxhxx。(i)设0k,由222(1)(1)'()kxxhxx知,当1x时,'()0hx。而(1)0h,故当(0,1)x时,()0hx,可得21()01hxx。
5、;当x(1,+)时,h(x)0,可得211xh(x)0从而当x0,且x1时,f(x)-(1lnxx+xk)0,即f(x)1lnxx+xk.(ii)设0k1.由于当x(1,k11)时,(k-1)(x2+1)+2x0,故'h(x)0,而h(1)=0,故当x(1,k11)时,h(x)0,可得211xh(x)0,与题设矛盾。(iii)设k1.此时'h(x)0,而h(1)=0,故当x(1,+)时,h(x)0,可得211xh(x)0,与题设矛盾。综合得,k的取值范围为(-,0]9.(2009山东卷文)(本小题满分12分)已知函数321()33fxaxbxx,其中0a(1)当ba,满足什么条件时,)(xf取得极值?(2)已知0a,且)(xf在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.解:(1)由已知得2'()21fxaxbx,令0)('xf,得2210axbx,)(xf要取得极值,方程2210axbx必须有解,所以△2440ba,即2ba,此时方程2210axbx的根为2212442bbabbaxaa。
6、,2222442bbabbaxaa,所以12'()()()fxaxxxx当0a时,x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f’(x)+0-0+f(x)增函数极大值减函数极小值增函数所以)(xf在x1,x2处分别取得极大值和极小值.当0a时,x(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)f’(x)-0+0-f(x)减函数极小值增函数极大值减函数所以)(xf在x1,x2处分别取得极大值和极小值.综上,当ba,满足2ba时,)(xf取得极值.(2)要使)(xf在区间(0,1]上单调递增,需使2'()210fxaxbx在(0,1]上恒成立.即1,(0,1]22axbxx恒成立,所以max1()22axbx设1()22axgxx,2221()1'()222axaagxxx,令'()0gx得1xa或1xa(舍去),当1a时,101a,当1(0,)xa时'()0gx,1()22axgxx单调增函数;当1(,1]xa时'()0gx,1()22axgxx单调减函数,所以当1xa。
7、时,()gx取得最大,最大值为1()gaa.所以ba当01a时,11a,此时'()0gx在区间(0,1]恒成立,所以1()22axgxx在区间(0,1]上单调递增,当1x时()gx最大,最大值为1(1)2ag,所以12ab综上,当1a时,ba;当01a时,12ab【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.10.设函数321()(1)4243fxxaxaxa,其中常数a1(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)0恒成立,求a的取值范围。解析:本题考查导数与函数的综合运用能力,涉及利用导数讨论函数的单调性,第一问关键是通过分析导函数,从而确定函数的单调性,第二问是利用导数及函数的最值,由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解:(I))2)(2(4)1(2)(2axxaxaxxf由1a知,当2x时,0)(。
8、xf,故)(xf在区间)2,(是增函数;当ax22时,0)(xf,故)(xf在区间)2,2(a是减函数;当ax2时,0)(xf,故)(xf在区间),2(a是增函数。综上,当1a时,)(xf在区间)2,(和),2(a是增函数,在区间)2,2(a是减函数。(II)由(I)知,当0x时,)(xf在ax2或0x处取得最小值。aaaaaaaf2424)2)(1()2(31)2(23aaa2443423af24)0(由假设知,0)0(,0)2(1fafa即.024,0)6)(3(34,1aaaaa解得1a6故a的取值范围是(1,6)87.(安徽理16)设()1xefxax,其中a为正实数(Ⅰ)当a43时,求()fx的极值点;(Ⅱ)若()fx为R上的单调函数,求a的取值范围。本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调变化之间的关系,求解二次不等式,考查运算能力,综合运用知识分析和解决问题的能力.解:对)(xf求导得.)1(1)(222axaxaxexfx①(I)当34。
9、a,若.21,23,0384,0)(212xxxxxf解得则综合①,可知所以,231x是极小值点,212x是极大值点.(II)若)(xf为R上的单调函数,则)(xf在R上不变号,结合①与条件a0,知0122axax在R上恒成立,因此,0)1(4442aaaa由此并结合0a,知.10a88.(北京理18)已知函数kxekxxf2)()(.(1)求)(xf的单调区间;x)21,(21)23,21(23),23()(xf+0-0+)(xf↗极大值↘极小值↗(2)若对0(x,),都有exf1)(,求k的取值范围。解:(1)/221()()xkfxxkek,令/()0fx得xk当0k时,()fx在(,)k和(,)k上递增,在(,)kk上递减;当0k时,()fx在(,)k和(,)k上递减,在(,)kk上递增(2)当0k时,11(1)kkfkee;所以不可能对0(x,)都有exf1)(;当0k时有(1)知()fx在(0,)上的最大值为24()kfke,所以对0(x。
10、,)都有exf1)(即241102kkee,故对0(x,)都有exf1)(时,k的取值范围为1[,0)2。112.(陕西理21)设函数()fx定义在(0,)上,(1)0f,导函数1()fxx,()()()gxfxfx.(1)求()gx的单调区间和最小值;(2)讨论()gx与1()gx的大小关系;(3)是否存在00x,使得01|()()|gxgxx对任意0x成立?若存在,求出0x的取值范围;若不存在,请说明理由.【分析】(1)先求出原函数()fx,再求得()gx,然后利用导数判断函数的单调性(单调区间),并求出最小值;(2)作差法比较,构造一个新的函数,利用导数判断函数的单调性,并由单调性判断函数的正负;(3)存在性问题通常采用假设存在,然后进行求解;注意利用前两问的结论.【解】(1)∵1()fxx,∴()lnfxxc(c为常数),又∵(1)0f,所以ln10c,即0c,∴()lnfxx;1()lngxxx,∴21()xgxx,令()0gx,即210xx,解得1x。
本文标题:参数分离虽巧,分类讨论不笨
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