利用绝对值中的零点分类讨论 - 全国名师中学网校 酷KE网

利用绝对值中的零点分类讨论主讲老师：陶小梅【知识点串讲】本专题主要讲解：利用绝对值中的零点分类讨论.本专题重点内容是零点分段法分类讨论与绝对值有关的问题.零点分段分类讨论法的步骤：通常分四步：⑴取零点：找到使多个绝对值等于零的点．⑵分区间：分区间讨论，去掉绝对值的符号.一般地n个零点把数轴分为（n＋1）段进行⑶各讨论：再在各个区间内分段求解⑷再综合：最后把各区间段的情形综合起来.【典例分析】考点一绝对值的定义【例1】（北京）43−的绝对值是（）A．34−B．34C．43−D．43【解析】数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．【答案】数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，在数轴上，点43−到原点的距离是43，所以43−的绝对值是43故选D．这类题还可以根据绝对值的运算性质解答：(0)(0)aaaaa≥⎧=⎨−⎩【典例分析】考点二利用零点分段法化简绝对值式子【例2】化简|x+5|+|2x-3|【答案】①当x≥2323时，x+5＞0,2x-3≥0，|x+5|+|2x-3|=3x+2；②当-5≤x＜时，x+5≥0,2x-3＜0，|x+5|+|2x-3|=8-x；③当x-5时，x+50,2x-30，|x+5|+|2x-3|=-3x-2将数轴分成三段；再分段讨论去掉绝对值符号化简；最后综合.【解析】先找零点；x+5=0，x=-5；2x-3=0，x=23，零点可以-5023解答这类题目的一般步骤：①找出零点；②利用零点进行匪类讨论，一般地n个零点把数轴分为（n＋1）段进行分类讨论；③去掉绝对值符号进行化简；④综合分类情况，下结论.【典例分析】考点三利用零点分段法含绝对值的不等式或方程【例3】解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7．，【解析】解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零点分段法”即令x-2=0,2x-1=0分别得到x=2,x=21−用2，21−将数轴分成三段：x≥2，21−≤x＜2，x＜21−然后在每一段上去掉绝对值符号再求解.,【答案】解：(1)当x≥2时，原方程化为(x-2)+(2x+1)=7，解得x=38≥2,是原方程的解(2)当21−≤x＜2时，原方程化为-(x-2)+(2x+1)=7，解之得x=4，不在21−≤x＜2的范围内，所以x=4不是原方程的解，应舍去.(3)当x＜21−时，原方程化为-(x-2)-(2x+1)=7，解之得x=-2，在x＜21−的范围内，所以x=-2是原方程的解综上，原方程的解为x=或x=-238若在x的某个范围内求解方程时，当求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解，应舍去．【典例分析】考点四绝对值几何意义的应用|a|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离|a-b|的几何意义：在数轴上，表示数a，b对应数轴上两点间的距离【例4】一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k（k=1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼米处．【解析】显然车站在1号楼的右边（如果车站在1号楼的左边，距离肯定比在右边大）.假设车站距离1号楼x米，然后运用绝对值表示出总共的距离，继而根据零点0,50,100,150,200分段讨论x的取值去掉绝对值，根据数的大小即可得出答案．500100200150车站【答案】解：假设车站距离1号楼x米，则总距离S=|x|+2|x-50|+3|x-100|+4|x-150|+5|x-200|，①当0≤x≤50时，S=2000-13x，最小值为1350；②当50＜x≤100时，S=1800-9x，最小值为900；③当100＜x≤150时，S=1200-3x，最小值为750（此时x=150）；④当150＜x≤200时，S=5x，最小值比750大．∴综上，当车站距离1号楼150米时，总距离最小为750米．故答案为：150．涉及到距离之和的问题就可以直接运用绝对值的几何意义解答.求绝对值的和的最小值时，常利用数轴把抽象的语言用直观的图形来表示，解题思路豁然开朗.【专题小结】含有绝对值的方程与不等式的求解，常用零点分段分类讨论法，分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝对值符号，转化为不含绝对值的代数式后再进行运算.在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏，要学会利用绝对值的几何意义并结合数轴解题．精微酷KE高效学考