反冲运动与人船模型的应用

反冲运动与人船模型的应用第1页共6页反冲运动与人船模型的应用一、模型的建立如图1所示，长为L、质量为m1的小船停在静水中，一个质量为m2的人立在船头，若不计水的粘滞阻力，当人从船头走到船尾的过程中，船和人对地面的位移各是多少？选人和船组成的系统为研究对象，由于人从船头走到船尾的过程中，系统在水平方向不受外力作用，所以水平方向动量守恒。人起步前系统的总动量为零。当人起步加速前进时，船同时向后加速运动；当人匀速前进时，船同时向后匀速运动；当人停下来时，船也停下来。设某一时刻人对地的速度为v2，船对地的速度为v1，选人前进的方向为正方向，根据动量守恒定律有22110mvmv，即2112vmvm。因为在人从船头走到船尾的整个过程中，每一时刻系统都满足动量守恒定律，所以每一时刻人的速度与船的速度之比，都与它们的质量成反比。从而可以得出判断：在人从船头走到船尾的过程中，人的位移s2与船的位移s1之比，也等于它们的质量的反比，即2112smsm①由图可以看出,12ssL②由①、②两式联立解得2112msLmm，1212msLmm（一）、人船模型说明：人在静止的船上行走时（不计水的阻力）则有以下结论：⑴.由于在运动方向上人船组成的系统动量为零，故人走船行，人停船止；⑵.船长L不是人行走的位移，而是人相对于船的位移；⑶.当人从船的一端走到另一端时，人和船行走的位移与本身的质量成反比。这种人和船具有相对运动而衍生出来的关于动量守恒定律应用的模型称为人船模型。（二）、人船模型特点⑴.系统由两部分组成（若为多部分也可以转化为两部分）；⑵.系统总动量守恒且总动量为零；⑶.组成系统的两部分有相对运动；⑷.要求与位移相关的物理量。（三）、人船模型解法⑴.画出运动过程中初末位置对比示意图，通过分析找出与位移相关的关系式；⑵.列出运动过程中某时刻系统动量守恒的方程，如m1V1＝m2V2，再利用微积分的思想将其转换为与位移相关的方程，如m1X1＝m2X2；⑶.联合两个与位移相关的方程即可求解。二、模型的拓展上面①、②两式是人船模型的两个重要关系式。对于人船模型，可以拓展为：一个原来处于静止状态的系统，在系统内两个物体发生相对运动的过程中，有一个方向动量守恒（如水平方向或竖直方向）的情况。拓展后的“人船模型”适用条件是：⑴、两个物体组成的系统初态静止；⑵、系统动量守恒或在某一方向上动量守恒。那么这两个物体在动量守恒方向上的位移一定同时满足①、②两式。使用①、②两式应特别注意：⑴、s1和s2是两物体在动量守恒方向上相对同一参照物的位移；⑵、②式中的L为两物体在动量守恒方向上的相对位移。s1s2反冲运动与人船模型的应用第2页共6页三、模型的应用例1、如图2所示，光滑水平面上有一小车，小车上固定一杆，总质量为M；杆顶系一长为L的轻绳，绳另一端系一质量为m的小球；绳被水平拉直处于静止状态（小球处于最左端）。将小球由静止释放，小球从最左端摆下并继续摆至最右端的过程中，小车运动的距离是多少？解析：本题球和车组成的系统符合“人船模型”的适用条件，因此可用①、②两式求解。但要注意球和车的相对位移为2L.设某一时刻小球速度的水平分量为v（方向向右），小车的速度为V（方向水平向左），选水平向左为正方向，根据动量守恒定律有0MVmv，即vMVm则小球的水平位移与小车的位移满足mMsMsm，又2mMssL以上两式联立解得2MmsLMm例2、质量为m、半径为R的小球，放在质量为M、半径为2R的圆柱形桶内，圆桶开始静止在光滑水平面上。在小球从如图3所示位置无初速度地沿圆桶内壁滚到最低点的过程中，圆桶移动的距离为3R，试求M是m的几倍？解析：本题看似与“人船模型”差异很大，但仔细分析，二者本质相同：系统初态静止且在水平方向上动量守恒，因此小球和圆桶组成的系统符合“人船模型”的适用条件，只不过②式中的相对位移L应为小球和圆桶在水平方向上的相对位移R，而不是2R。设某一时刻小球速度的水平分量为v（方向向右），圆桶的速度为V（方向水平向左），选水平向左为正方向，根据动量守恒定律有：0MVmv，即vMVm则小球的水平位移与圆桶的位移满足mMsMsm，又mMssR以上两式联立解得M=2m，即圆桶的质量M是小球质量m的2倍.例3、载人气球原来静止于高h的高空，气球质量为M，人的质量为m，若人沿绳梯滑至地面，则绳梯至少为多长？解析：设某一时刻人的速度为v1，气球的速度为v2，选竖直向下为正方向，根据动量守恒定律有120mvMv即12vmvM则人的位移S1与气球的位移S2满足12SMSm而人的位移S1=h，代入上式解得2mShM由图4知，绳梯的最短长度为12MmlSShM总之，分析和解答物理问题的过程，就是构建物理模型的过程。也即把物理问题与某些已有模型进行类比的过程。通过表象、特征、功能等方面的相似性，使物理问题与已有模型得到沟通，从而迅速确立解题的方向。但在这些过程中，要十分注意模型的本质特征、约束条件，以便有效、准确地应用模型解题，避免出现差错。R2R图3图2MMS1＝hlS2图4反冲运动与人船模型的应用第3页共6页【配套练习】1、如图5所示，质量为M，半径为R的光滑半圆弧槽静止在光滑水平面上。有一质量为m的小滑块在与圆心O等高处无初速度滑下，在小滑块滑到圆弧槽最低点的过程中，圆弧槽产生的位移的大小为_________.2、如图6所示，一个质量为m的玩具蛙蹲在质量为M的小车的细杆上，小车放在光滑的水平桌面上。若车长为l，细杆高为h，且位于小车的中点，试求：当玩具蛙最小以多大的水平速度v跳出时，才能落到桌面上？3、质量为M的斜面体B置于光滑的水平地面上，斜面体底边长为b,在其斜面上放有一质量为m的与斜面体相似的物块，其上边长为a，且与水平面平行.系统处于静止状态，如下图所示.在物块A从B的顶端下滑到接触地面的过程中，斜面体B后退的距离为()A.B.C.D.4、如图4所示，一带固定支架的小车静止在光滑的水平地面上，小车及支架的总质量为M，支架顶端用一不可伸长的轻绳系一质量为m的小球，轻绳长度为L。现将小球拉至细线处于水平伸直状态，然后由静止释放。求：⑴、从释放到摆到最低点的过程中小车的位移大小；⑵、小球摆到最低点时小球和小车的速度大小。mMOR图5图6lh反冲运动与人船模型的应用第4页共6页5、某人在一只静止的小船上练习射击，船、人连同枪（不包括子弹）及靶的总质量为M,枪内有n颗子弹，每颗子弹的质量为m，枪口到靶的距离为L，子弹水平射出枪口相对于地的速度为v0，在发射后一发子弹时，前一发子弹已射入靶中，在射完n颗子弹时，小船后退的距离为（）0;;;11mnlnmlmnlABCDMnmMnmMnm6、某人在一只静止的小船上练习射击．已知船、人连同枪(不包括子弹)及靶的总质量为M，枪内装有n颗子弹，每颗子弹的质量为m，枪口到靶的距离为L，子弹飞出枪口时相对于地面的速度为v．若在发射后一颗子弹时，前一颗子弹已陷入固定在船上的靶中，不计水对船的阻力．问⑴、射出第一颗子弹时，船的速度多大？⑵、发射第n颗子弹时，船的速度多大?⑶、发射完颗n子弹后，船一共能向后移动多少距离?⑷、若子弹足够多，能在练习打靶的过程中过河吗？7、如图所示，人和冰车的总质量为M，另有一个质量为m的坚固木箱，开始时人坐在冰车上静止不动，某一时刻人将原来静止在冰面的木箱以相对冰面的速度v0推向前方的弹性挡板，同时冰车反向滑动.木箱与挡板碰撞后又反向弹回,设碰撞挡板过程中无机械能损失,人接到木箱后再以同样相对冰面的速度v0将木箱推向挡板……如此反复多次,试分析人推木箱多少次后将不可能再接到木箱.(已知M∶m=31∶2,不计摩擦)，反冲运动与人船模型的应用第5页共6页答案：1、mRMm；2、2()2MlgMmh；3、C；4、解析：此题与例2非常类似，仍然属于系统在某一方向上动量守恒的题目，只是物体的运动情形发生了改变，而且是一道具有代表性的题目。⑴、小球在摆到最低点的过程中，初末位置对比示意图如图所示，设小球在水平方向的分位移大小为X球，小车的位移大小为X车，则有X球＋X车＝L经分析系统在水平方向上动量守恒而且为零，设在小球下摆过程中，某时刻小球在水平方向的分速度大小为V球，小车的速度大小为V车，则有mV球＝MV车利用微积分思想可得mX球＝MX车，解得X车＝mLm+M⑵、小球摆到最低点时的速度刚好是水平的，设在最低点时，小球的速度大小为V1，小车的速度大小为V2，则有mV1＝MV2而下滑过程中系统机械能也守恒，故有221211mgL=mVMV22解得12MgLV=m+M2222mgLV=M+Mm5、解析:设n颗子弹发射的总时间为t,取n颗子弹为整体,由动量守恒得nmv0=Mv1,即nmv0t=Mv1t;设子弹相对于地面移动的距离为s1,小船后退的距离为s2,则有:s1=v0t,s2=v1t;且s1＋s2=L解得:2nmlsMnm.答案C6、反冲运动与人船模型的应用第6页共6页（1）、（2）、射出第一颗子弹与射出第n颗子弹时船的速度是一样大的，则动量守恒定律得mv=[(n-1)m+M]V,V=mv/[(n-1)+M](3)、这是一个人船模型，设射完n颗子弹后船向后移动的距离为x则Mx=nm(L-x)x=nmL/(nm+M)7、人和冰车的总质量为M，车上有一木球质量为m，且M：ｍ=31：2。人坐在静止于水平冰面的冰车上，以速度v（相对地面）将原来静止的木球沿冰面推向正前方向的固定挡板。不计一切摩擦阻力，设小球与挡板的碰撞是弹性的，人接住球后，再以同样的速度v（相对地面）将球推向挡板，求人推多少次后不再能接到球？解：设第1次推球后人的速度为，有，第1次接球后人的速度为，有；第2次推球，第2次接球；……第n次推球，由以上各式可得，当时人便接不到球，可得n≥8.25，取n=98、如图3所示，一质量为M底边长为L的斜面体静止在水平地面上，另一质量为m的小斜面体固定在斜面顶端，其上表面刚好水平且长度为l，现使其由静止开始下滑，不计一切摩擦。求：从开始下滑到小斜面体下端刚好接触地面的过程中斜面体M的位移大小。8、解析：这类题目的物理情景我们经常遇到，属于系统在某一方向上动量守恒的题目，现在增加了对人船模型的考查，故难度较大。经分析可知小斜面体和斜面体组成的系统在水平方向上动量守恒，而且在水平方向上完全符合人船模型的特点，故仍然可以用其方法解决。小斜面体沿斜面下滑的过程中，初末位置对比示意图如图所示，设斜面体的位移大小为XM，小斜面体的水平分位移大小为Xm，则有XM＋Xm＋l＝L设在下滑过程中，某时刻小斜面体在水平方向的分速度大小为V1，斜面体的速度大小为V2，则有mV1＝MV2利用微积分思想可得mXm＝MXM，解得XM＝m(L-)m+Ml