专升本高等数学课件-第一章

第一章函数、极限和连续第一节函数函数有界性单调性周期性奇偶性初等函数分段函数复合函数集合映射第一节函数一、函数概念以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记为U(a).aa+a-U（a,）=（a-,a+）δ0,称集合(a-δ,a+δ)为点a的δ邻域,记为U(a,δ)..,axxaUaa+a-axx0集合称为点a的去心δ邻域,记为.,aU.0,axxaU即。叫做邻域的半径。叫做邻域的中心；a1、邻域因变量自变量.)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfDx.}),({称为函数的值域函数值全体组成的数集DxxfyyW变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作定义设x和y是两个变量,D是一个给定的数集，数集D叫做这个函数的定义域)(xfy如果对于每个数Dx,2、函数的定义(())0x)(0xf自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.xyDW约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.21xy例如，]1,1[:D211xy例如，)1,1(:D定义:.)(}),(),{(的图形函数称为点集xfyDxxfyyxCoxy),(yxxyWD如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．．例如，222ayx3、函数的表示法解析法：用解析表达式表示函数关系表格法：用列表的方法来表示函数关系图示法：用平面直角坐标系上的曲线来表示函数关系(1)符号函数010001sgnxxxxy当当当几个特殊的函数举例1-1xyoxxxsgn(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线x是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数(4)取最值函数)}(),(max{xgxfy)}(),(min{xgxfyyxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg0,10,12)(,2xxxxxf例如12xy12xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.•显函数：函数关系用解析式表示的称为显函数，如.•分段函数：有些函数，对于其定义域内自变量的不同值，函数不能用一个统一的公式表示，而要用两个或两个以上的公式来表示，这类函数称为分段函数.•隐函数：函数与自变量的对应法则用一个方程表示的函数，如.()yfx2,lgyxyx2210xyy(,)0Fxy0,10,12)(,2xxxxxf例如12xy12xyxx4、显函数，分段函数，隐函数二、函数的性质1．函数的单调性,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI),()()1(21xfxf若恒有则称函数f(x)在区间I上是单调增加的.),()()2(21xfxf若恒有则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.单调性的判定方法：（1）用函数单调的定义判定。（2）用函数的导数符号判定，在某区间内导数大于零，则函数在该区间内单调增加。2．函数的奇偶性偶函数若有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxfyx)(xf)(xfyox-x)(xf图象关于y轴对称称f(x)为偶函数。)()(xfxf若有称f(x)为奇函数奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy图象关于原点对称[性质](1)若f(x)在x=0有定义,f(x)为奇函数时,必有f(0)=0.则当xyoxx(2)有时利用f(x)+f(-x)=0是判断一个函数为奇函数的有效方法.(3)偶+偶=偶，奇+奇=奇，偶×偶=偶，奇×奇=偶，奇×偶=奇.(4)定义在关于原点对称的区间上的函数=奇函数+偶函数(5)具有奇偶性的函数,可简化微积分的运算(后续).3．函数的周期性（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.2l2l23l23l,)(Dxf的定义域为设函数如果存在一个不为零的)()(xflxf且为周则称)(xf.)(,,DlxDxl使得对于任一数.)(,的周期称为期函数xfl.恒成立xo2y2周期为周期为[注](1)周期函数不一定存在最小正周期.[例如]常量函数Cxf)(狄里克雷函数x为有理数x为无理数,1,0[注](2)周期函数还有一些有用的微积分性质，以后逐渐学到.,2使得若K1)(Kxf4.函数的有界性有若数集,,,1XxKDX2)(Kxf)()(1是其中的一个上有上界在称函数KXxf上界)()(2是其中的一个上有下界在称函数KXxf下界(1)[定义]有若数集,,0,XxMDX则称函数f(x)在X上有界.否则称无界.Mxf)(M-MyxoX0xM-Myxoy=f(x)X有界无界[结论]上有界在Xxf)(界上既有上界又有下在)(Xxff(x)在X上无界MxfXxM)(,,011使得[注]具有“有界”性质的函数是一类重要的函数.因为有界是数列收敛的必要条件,是各类积分存在的必要条件.三、反函数0x0y0x0yxyDW)(xfy函数oxyDW)(1yfx反函数oy=f(x)——直接函数——直接反函数)(1yfx)(xfy1——矫形反函数)(xfy直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.xy四、基本初等函数1、幂函数)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy2、指数函数)1,0(aaayxxayxay)1()1(a)1,0(xey3、对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(4、三角函数正弦函数xysinxysinxycosxycos余弦函数正切函数xytanxytanxycot余切函数xycot正割函数xysecxysecxycsc余割函数xycsc5、反三角函数xyarcsinxyarcsin反正弦函数xyarccosxyarccos反余弦函数xyarctanxyarctan反正切函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.xycot反余切函数arcxycotarc五、复合函数初等函数1、复合函数,uy设,12xu21xy定义:设函数)(ufy的定义域fD,而函数)(xu的值域为Z,若ZDf,则称函数)]([xfy为x的复合函数.,自变量x,中间变量u,因变量y[定义][说明]通常f称为外层函数，g称为内层函数.1),(Duufy12)(DDg且则称为由①,②确定的复合函数,①②u称为中间变量.自然定义域注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,arcsinuy例如;22xu)2arcsin(2xy2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2cotxy例如,uy,cotvu.2xv2、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例1)].([,0,10,2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx求设解1)(),(1)(,)]([)(xxxexfx,1)(10时当x,0x或,12)(xx;20x,0x或,11)(2xx;1x,1)(20时当x,0x或,12)(xx;2x,0x或,11)(2xx;01x综上所述.2,120011,,2,)]([2122xxxxxexexfxx第一章函数、极限和连续第二节极限42数列的极限一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四、数列极限的性质42一、概念的引入单击任意点开始观察1.[割圆术]“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽观察完毕[引例]2.[截丈问题]“一尺之棰，日取其半，万世不竭”;211X第一天截下的杖长为;212122X为第二天截下的杖长总和;2121212nnXn天截下的杖长总和为第nnX2111二、数列的定义[定义]按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数,,,,21nxxx(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,nx称为通项(一般项).数列(1)记为}{nx.[例如];,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n的。单调减少是则称数列nx。单调数列的数列统称为单调增加的或单调减少的；单调增加是则称数列nx,1321nnnxxxxxx满足：若数列,1321nnnxxxxxx满足：若数列[单调性]单击任意点开始观察.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限观察结束.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn通过上面演示实验的观察:[直观定义]当n无限增大时，xn无限接近于一个确定的常数a，称a是数列xn的极限.或者称数列{xn}收敛于a,记为axnnlim)(naxn或[发散]如果数列没有极限,就说数列是发散的.[说明]发散有①不存在(非无穷大)；②∞；③+∞；④∞.[常用结论公式]1.常数列的极限等于它本身..1,0lim.2的常数其中qqnnCCnlim[注]当时，不存在.)1(1||qq或nnqlim.,1lim.3为正常数其中aann1.[唯一性][定理1]收敛数列的极限唯一.四、收敛数列的性质1.[唯一性][定理1]收敛数列的极限唯一.四、收敛数列的性质2.[有界性](1)[定义]对数列nx,若存在正数M,使得一切自然数n,恒有Mxn成立,则称数列nx有界,否则,称为无界.[例如];1nnxn数列.2nnx数列[几何表现]数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间],[MM上.有界无界1x2x3x4xnxMMo(2)[定理2]收敛的数列必定有界.[注意]①逆否命题必成立：无界列必定发散.②逆命题不成立：有界列不一定收敛.③数列有界是收敛的必要条件(不充分).1)1(nnx如子数列的概念:子数列的表示：,,1nnxx第一次抽取中在数列,21nnxx后抽取第二次在,,32nnxx后抽取第三次在得到：这样无休止地抽取下去,,,,,,21knnnxxx.的一个子数列就是数列数列nnxxk.,项中是第在原数列项是第在knnnnnxxkxxkkk.knk显然,中的先后次序nx,中任意抽取无限多项在数列nx并保持这些项在原数列.子数列的数列这样得到的数列称为原nx收敛数列与其子数列的关系:.a并且极限也是,,收敛那末它的任一子数列也收敛于如果数列axn定理3注:其逆反定理用于证明数列的发散函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、函数极限的性质四、极限运算法则【数列极限】axnn时，)(nfxn——整标函数【函数的极限】)(xfy有0xxx两大类情形单击任意点开始观察.sin时的变化趋势当观察函数xxx一、自变量x→∞时,f(x)的极限1.【引例】单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察观察完毕【观察结果】函数)(xfy在x的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A..0sin)(,无限接近于无限增大时当xxxfx通过上面演示实验的